等差×等比数列のソースを表示

{{dablink|[[算術幾何数列]]とは異なる。また、[[算術幾何平均]]を定義する数列とも混同してはならない。}}
{{Calculus |Series}}
[[数学]]において、[[算術数列]]と[[幾何数列]]の[[点ごとの積|項ごとの積]]によって与えられる、'''算術&ndash;幾何数列''' (''arithmetico–geometric sequence'') は、象徴的に「算術&sdot;幾何数列」とか「(等差)×(等比)-型の数列」などのようにも呼ばれる。より平易に述べれば、一つの算術×幾何数列の第 {{mvar|n}}-項は、適当な算術数列の第 {{mvar|n}}-項と幾何級数の第 {{mvar|n}}-項の積で与えられる。算術幾何数列は、[[確率論]]における[[期待値]]の計算など様々な応用において生じる。例えば数列<math display="block">
\dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}, \ \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}, \ \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}, \ \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}, \ \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}, \ \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}, \dotsc 
</math> は分子 ({{color|blue|青}}) が算術数列を成す成分、分母 ({{color|green|緑}}) が幾何数列を成す成分となっている算術幾何数列である。

; 注意: 「算術&shy;幾何数列」という呼称は、算術数列と幾何数列の両方の特徴を持つほかの対象に用いられる場合がある。{{efn|例えば[[線形回帰数列]]の一種で <math>u_{n+1}=a u_n+b</math> なる漸化式を満足する[[算術幾何数列|数列]]は、算術数列 ({{math|1=''a'' = 1}}) および幾何数列 ({{math|1=''b'' = 0}}) を共に一般化する。}}

== 一般項の様子 ==
初項 {{mvar|a}}, 公差 {{mvar|d}} の[[算術数列]] ({{color|blue|青}}) と初項 {{mvar|b}}, 公比 {{mvar|r}} の[[幾何数列]] ({{color|green|緑}}) を合成して得た算術幾何数列の最初のほうの項は<math display="block">
\begin{align}
t_1 & =\color{blue}a \color{green}b \\
t_2 & =\color{blue}(a+d) \color{green}br \\
t_3 & =\color{blue}(a+2d)\color{green} br^2 \\
& \ \,\vdots \\
t_n & =\color{blue}[a+(n-1)d]\color{green} br^{n-1}
\end{align}
</math>
のようになっている<ref name="RHB118">{{cite book |author1=K. F. Riley |author2=M. P. Hobson |author3=S. J. Bence |title= Mathematical methods for physics and engineering|edition= 3rd|year= 2010|page=118|publisher= Cambridge University Press|isbn=978-0-521-86153-3}}</ref>。

簡単のため、本項ではこれ以降 {{math|1=''b'' = 1}} と仮定して話を進める。

=== 例 ===
例えば数列 <math display="block">
\dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}, \ \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}, \ \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}, \ \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}, \ \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}, \ \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}, \cdots 
</math> は {{math|1=''d'' = ''b'' = 1, ''a'' = 0, ''r'' = 1/2}} の定める算術幾何数列である。

== 有限和 ==
算術幾何数列の初めの {{mvar|n}} 項からなる第 {{mvar|n}}-部分和<math display="block">
\begin{align}
S_n & = \sum_{k = 1}^n t_k = \sum_{k = 1}^n \left[a + (k - 1) d\right] r^{k - 1} \\
& = a + [a + d] r + [a + 2 d] r^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] r^{n - 1}
\end{align}
</math> は{{ill2|閉じた形の式|en|closed-form expression}} <math display="block">
S_n = \frac{a - [a+(n - 1)d] r^n}{1 - r}+\frac{dr(1 - r^{n - 1})}{(1 - r)^2}
</math> で表すことができる。

=== 導出 ===
求める和<ref name="RHB118"/><math display="block">
 S_n = a + [a + d] r + [a + 2 d] r^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] r^{n - 1}
</math> に公比 {{mvar|r}} を掛けて <math display="block">
r S_n = a r + [a + d] r^2 + [a + 2 d] r^3 + \cdots + [a + (n - 1) d] r^n
</math> としてから、辺々引くことにより<math display="block">\begin{align} (1 - r) S_n = 
 {}  & \left[a + (a + d) r + (a + 2 d) r^2 + \cdots + [a + (n - 1) d] r^{n - 1}\right] \\[5pt]
     & {}\qquad - \left[a r +\quad (a + d) r^2 + (a + 2 d) r^3 + \dotsb\dotsb\qquad+ [a + (n - 1) d] r^n\right] \\[5pt]
= {} & a + d \left(r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right) - \left[a + (n - 1) d\right] r^n \\[5pt]
= {} & a + \frac{d r (1 - r^{n - 1})}{1 - r} - [a + (n - 1) d] r^n
\end{align}</math> を得る（最後の行、真ん中の項は[[幾何級数]]の公式を用いた）。最後に、両辺を {{math|(1 − ''r'')}} で割れば所期の式を得る。

== 無限級数 ==
前節の結果の帰結として、算術幾何数列の項の無限和、すなわち算術幾何[[級数 (数学)|級数]]は {{math|−1 < ''r'' < 1}} なるとき、その値 {{mvar|S}} は <math display="block">
  S= \sum_{k = 1}^\infty t_k = \lim_{n \to \infty}S_{n} = \frac{a}{1-r}+\frac{dr}{(1-r)^2}
</math> で与えられる<ref name="RHB118"/>。

{{mvar|r}} がほかの範囲にあるときには:
* [[発散級数|発散]]:  {{math|''r'' > 1}} または [{{math|''r'' {{=}} 1}}（このとき算術数列に帰着される）かつ {{mvar|a, d}} の何れかは {{math|0}} でない] のとき{{efn|後者の場合で {{mvar|1=''a'' = ''d'' = 0}} ならばすべての項が零だから、級数は定数になる}}
* [[交項級数]]: {{math|''r'' ≤ −1}} のとき

=== 例: 期待値の計算 ===
{{math|1=''d'' = ''b'' = 1, ''a'' = 0, ''r'' = 1/2}} で定まる算術幾何級数 <math display="block">S =
  \dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}} +\dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}
 +\dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}} +\dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}
 +\dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}} +\dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}+\cdots 
</math> は収束して {{math|''S'' {{=}} 2}} である。

この数列は[[コイントス]]において「テイル」を得るまでの回数の期待値に対応している。{{mvar|k}}-回目のトスで初めてテイルを得る確率 {{mvar|T{{sub|k}}}} は、<math display="block">
 T_1=\frac 1{2}, \ T_2=\frac 1{4},\dots, T_k = \frac 1{2^k}
</math>で与えられる。したがってトス回数の期待値は<math display="block">
 \sum_{k=1}^{\infty} k T_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\color{blue}k}{\color{green}2^k} = S = 2
</math> である。

== 注釈 ==
{{notelist}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連文献 ==
*{{cite book|title=The Pearson Guide to Mathematics for the IIT-JEE, 2/e (New Edition)|author=D. Khattar|publisher=Pearson Education India|page=10.8|isbn=81-317-2876-5|url=https://books.google.com/books?id=5OffscY1FGYC&pg=SA10-PA8 }}
*{{cite book|title=Comprehensive Mathematics XI|author=P. Gupta|publisher=Laxmi Publications|page=380|isbn=81-7008-597-7|url=https://books.google.com/books?id=rQtlgvS598MC&pg=PA380 }}

== 外部リンク ==
* [https://brilliant.org/wiki/arithmetic-geometric-progression/ Arithmetic-Geometric Progression], Brilliant.org

{{DEFAULTSORT:とうさ-とうひすうれつ}}
[[Category:初等解析学]]
[[Category:級数]]
[[Category:数学に関する記事]]