等差×等比数列

テンプレート:Dablink テンプレート:Calculus 数学において、算術数列と幾何数列の項ごとの積によって与えられる、算術–幾何数列 (arithmetico–geometric sequence) は、象徴的に「算術⋅幾何数列」とか「(等差)×(等比)-型の数列」などのようにも呼ばれる。より平易に述べれば、一つの算術×幾何数列の第 テンプレート:Mvar-項は、適当な算術数列の第 テンプレート:Mvar-項と幾何級数の第 テンプレート:Mvar-項の積で与えられる。算術幾何数列は、確率論における期待値の計算など様々な応用において生じる。例えば数列$$\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{8},\frac{4}{16},\frac{5}{32},\dots$$ は分子 (テンプレート:Color) が算術数列を成す成分、分母 (テンプレート:Color) が幾何数列を成す成分となっている算術幾何数列である。

注意

「算術­幾何数列」という呼称は、算術数列と幾何数列の両方の特徴を持つほかの対象に用いられる場合がある。テンプレート:Efn

一般項の様子

初項 テンプレート:Mvar, 公差 テンプレート:Mvar の算術数列 (テンプレート:Color) と初項 テンプレート:Mvar, 公比 テンプレート:Mvar の幾何数列 (テンプレート:Color) を合成して得た算術幾何数列の最初のほうの項は$$\begin{array}{cc}{t}_1& =ab\\ t_2& =(a+d)br\\ t_3& =(a+2d)b{r}^2\\ & ⋮\\ t_n& =[a+(n-1)d]b{r}^{n-1}\end{array}$$ のようになっている。

簡単のため、本項ではこれ以降 テンプレート:Math と仮定して話を進める。

例

例えば数列 $$\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{8},\frac{4}{16},\frac{5}{32},\cdots$$ は テンプレート:Math の定める算術幾何数列である。

有限和

算術幾何数列の初めの テンプレート:Mvar 項からなる第 テンプレート:Mvar-部分和$$\begin{array}{cc}{S}_n& =\sum _{k=1}^n{t}_k=\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]r^{k-1}\\ & =a+[a+d]r+[a+2d]r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\end{array}$$ はテンプレート:Ill2 $$S_n=\frac{a-[a+(n-1)d]r^n}{1-r}+\frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r{)}^2}$$ で表すことができる。

導出

求める和$$S_n=a+[a+d]r+[a+2d]r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}$$ に公比 テンプレート:Mvar を掛けて $$r{S}_n=ar+[a+d]r^2+[a+2d]r^3+\cdots +[a+(n-1)d]r^n$$ としてから、辺々引くことにより$$\begin{array}{cc}(1-r)S_n=& [a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}]\\ & -[ar+(a+d)r^2+(a+2d)r^3+\cdots \cdots +[a+(n-1)d]r^n]\\ =& a+d(r+r^2+\cdots +r^{n-1})-[a+(n-1)d]r^n\\ =& a+\frac{dr(1-r^{n-1})}{1-r}-[a+(n-1)d]r^n\end{array}$$ を得る（最後の行、真ん中の項は幾何級数の公式を用いた）。最後に、両辺を テンプレート:Math で割れば所期の式を得る。

無限級数

前節の結果の帰結として、算術幾何数列の項の無限和、すなわち算術幾何級数は テンプレート:Math なるとき、その値 テンプレート:Mvar は $$S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\frac{a}{1-r}+\frac{dr}{(1-r{)}^2}$$ で与えられる。

テンプレート:Mvar がほかの範囲にあるときには:

• 発散: テンプレート:Math または [[[:テンプレート:Math]]（このとき算術数列に帰着される）かつ テンプレート:Mvar の何れかは テンプレート:Math でない] のときテンプレート:Efn
• 交項級数: テンプレート:Math のとき

例: 期待値の計算

テンプレート:Math で定まる算術幾何級数 $$S=\frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\cdots$$ は収束して テンプレート:Math である。

この数列はコイントスにおいて「テイル」を得るまでの回数の期待値に対応している。テンプレート:Mvar-回目のトスで初めてテイルを得る確率 テンプレート:Mvar は、$$T_1=\frac{1}{2},T_2=\frac{1}{4},\dots ,T_k=\frac{1}{2^k}$$で与えられる。したがってトス回数の期待値は$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{T}_k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k}{2^k}=S=2$$ である。

関連文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• Arithmetic-Geometric Progression, Brilliant.org