点ごとの積
テンプレート:For テンプレート:Unreferenced 2つの関数の点ごとの積は、定義域の各値における2つの関数の像を掛けることで得られる別の関数である。テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar がともに定義域が テンプレート:Mvar で終域が テンプレート:Mvar の関数で、テンプレート:Mvar の元が掛けることができるとき（例えば テンプレート:Mvar は数からなる集合）、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の点ごとの積は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への テンプレート:Math を テンプレート:Math に写す別の関数である。
定義
テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を集合とし、テンプレート:Mvar に乗法が定義されているとする――つまり、テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math によって与えられる積
がきちんと定義されているとする。テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を関数 テンプレート:Math とする。すると，点ごとの積 テンプレート:Math は
- 各 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math
によって定義される。積の二項演算子 テンプレート:Math を省略するのと同様に テンプレート:Math と書く。
合成とは異なることに注意。
例
2つの関数の点ごとの積の最も一般的な場合は終域が環（あるいは体）のとき（このとき乗法は well-defined である）である。
- テンプレート:Mvar が実数全体の集合 テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math の点ごとの積は単に像の通常の乗法である．例えば，テンプレート:Math と テンプレート:Math のとき，各実数 テンプレート:Math に対して である。
- テンプレート:仮リンクは畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の点ごとの積である：と述べている。
点ごとの積の代数的応用
テンプレート:Mvar を集合とし テンプレート:Mvar を環とする。テンプレート:Mvar には加法と乗法が定義されているから、テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への関数全体の集合には多元環と呼ばれる代数的構造を入れることが、関数の加法、乗法、スカラー乗法を点ごとに定義することによって、できる。
テンプレート:Math で テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への関数全体の集合を表すと，テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の元のとき，テンプレート:Math, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar はすべて テンプレート:Math の元である．ここで最後の元はすべての テンプレート:Math に対して
とすることで定義される。
一般化
テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar がともに、離散変数からなる集合に関してそれらがとり得る値の組み合わせ全体の成す集合を定義域に持つと仮定する。このときそれらの点ごとの積は、その定義域がもとの二写像各々の変数の合併に関して取りうる値の組み合わせ全体の成す集合として与えられる写像となる。変数のとる値の各組に対するこの写像の値は、もとの各々の写像の定義域はこの写像の定義域の部分集合なのだから、それぞれの変数の値の対応する組に対するもとの二写像各々の値の積として計算できる。
例えば、函数 テンプレート:Math がブール値変数 テンプレート:Mvar に対し、また テンプレート:Math がブール値変数 テンプレート:Mvar に対して与えられた、ともに実数値の函数とすれば、それらの点ごとの積は テンプレート:Math で与えられる三変数の函数 テンプレート:Math である。以下の表は、各函数の値を与えたときの点ごとの積を示したものである: