等方テンソルのソースを表示

'''等方テンソル'''（とうほうテンソル）とは、どのような[[基底]]に関する成分も値が変わらない[[テンソル]]である<ref>{{cite|和書|title=テンソル解析からはじめる応用固体力学|author=岡部朋永|publisher=コロナ社|year=2015|page=31|isbn=978-4-339-04641-0}}</ref>。すなわち、テンソルに任意の[[直交変換]]を行ってもその成分の値が変わらないものである。

等方ベクトル（1階テンソル）は[[零ベクトル]]以外に存在しない。すなわちベクトル {{math|''v<sub>i</sub>''}} が等方的であるなら、任意の直交変換行列 {{math|''a<sub>ij</sub>''}} に対して
:<math>v_i = a_{ij} v_j \iff v_i=0</math>
である。

2階テンソル {{math|''T<sub>ij</sub>''}} が等方的であるなら
:<math>T_{ij} = \alpha\delta_{ij}</math>
が成り立つ。ここで&alpha;は[[スカラー (数学)|スカラー]]、&delta;は[[クロネッカーのデルタ]]である。

3階等方テンソルに対しては、[[エディントンのイプシロン]]&epsilon;を用いて
:<math>T_{ijk} = \alpha\epsilon_{ijk}</math>
4階等方テンソルに対してはスカラー&alpha;, &beta;, &gamma;に対して
:<math>T_{ijkl} = \alpha\delta_{ij}\delta_{kl} + \beta\delta_{ik}\delta_{jl} + \gamma\delta_{il}\delta_{jk}</math>
が成り立つ。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[等方的と異方的]]

{{デフォルトソート:とうほうてんそる}}
[[Category:対称性]]
[[Category:テンソル]]
[[category:数学に関する記事]]