等方テンソル

等方テンソル（とうほうテンソル）とは、どのような基底に関する成分も値が変わらないテンソルである^[1]。すなわち、テンソルに任意の直交変換を行ってもその成分の値が変わらないものである。

等方ベクトル（1階テンソル）は零ベクトル以外に存在しない。すなわちベクトルテンプレート:Math が等方的であるなら、任意の直交変換行列テンプレート:Math に対して

v_{i} = a_{i j} v_{j} ⟺ v_{i} = 0

である。

2階テンソルテンプレート:Math が等方的であるなら

T_{i j} = α δ_{i j}

が成り立つ。ここでαはスカラー、δはクロネッカーのデルタである。

3階等方テンソルに対しては、エディントンのイプシロンεを用いて

T_{i j k} = α ϵ_{i j k}

4階等方テンソルに対してはスカラーα, β, γに対して

T_{i j k l} = α δ_{i j} δ_{k l} + β δ_{i k} δ_{j l} + γ δ_{i l} δ_{j k}

が成り立つ。

参考文献