等比数列のソースを表示

'''等比数列'''（とうひすうれつ）または'''幾何数列'''（きかすうれつ、{{lang-en-short|geometric progression, geometric sequence}}）は、隣り合う2つの項の[[比]]が項番号によらず等しい[[数列]]をいう。各項に共通するその一定の比のことを'''公比'''（こうひ、{{lang-en-short|common ratio}}）という。

例えば初項が {{math|4}}, 公比が {{math|3}} の等比数列の最初の数項を列挙すると {{math2|4, 12, 36, 108, …}} となる。ある数列について、隣り合う項の比（この場合、{{math2|1={{sfrac|12|4}}, {{sfrac|36|12}}, {{sfrac|108|36}}, …}}）が常に等しいならその数列は等比数列である。

等比数列 {{math|{{mset|''a''{{sub|''n''}}}}}} について、（定義より公比は {{math|0}} でないため）公比 {{mvar|r}} は任意の {{mvar|n}} 番目の項とその次の項の比 {{math|1=''r'' = {{sfrac|''a''{{sub|''n''+1}}|''a{{sub|n}}''}}}} から得られる（特に {{math|1=''r'' = 1}} の場合は公差が {{math|0}} の[[等差数列]]でもある）。等比数列の各項は初項 {{mvar|a}} と公比 {{mvar|r}} を用いて具体的に以下のように表せる。
:<math display="block">
a,\, ar,\, ar^2,\, \dots,\, ar^n,\, \dots\,.
</math>
{{math|''a''{{sub|0}}}} を初項とすれば、{{mvar|n}} 番目の項 {{mvar|a{{sub|n}}}} は以下のように表せる。
:<math display="block">
a_n = ar^n.
</math>
これが等比数列の一般項である。

== {{vanc|性質|数学的性質}} ==
等比数列を[[漸化式]]で表すと、
:<math display="block">
  \begin{cases}
    a_0 &= a \\
    a_{n+1} &= r a_n & (n \ge 0)
  \end{cases}
</math>
となる。

公比 {{mvar|r}} が[[正の数と負の数|負]]の場合は[[プラス記号とマイナス記号|符号]]が一項ずつ入れ替わる。{{math|1=''r'' = &minus;{{abs|''r''}}}} と置き換えると、
:<math display="block">
  a_n = a(-|r|)^n = (-1)^na|r|^n
</math>
となり、各項は {{mvar|n}} が奇数なら初項と異符号になり、偶数なら初項と同符号となる。
公比が負の数列として、例えば　{{math|3, &minus;6, 12, &minus;24, …}}　なる公比 {{math|&minus;2}} の等比数列を考えると、その一般項は
:<math display="block">
  a_n = 3 \cdot (-2)^n
      = (-1)^{n} \, 3 \cdot 2^n
</math>
となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。

形式的に等比数列の一般項の[[対数]]をとると
:<math display="block">
  \log a_n = \log a + n \log r
</math>
となり、数列 {{math|log ''a{{sub|n}}''}} は初項 {{math|log&thinsp;''a''}} 、公差 {{math|log&thinsp;''r''}} の等差数列になる。

等比数列の連続する3項を小さい順から {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} とすると、常に {{math|1=''b''{{sup|2}} = ''ac''}} が成り立つ{{efn2|一般に、{{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} が {{math|0}} でないとき、 {{mvar|b}} を[[幾何平均|等比中項]]と呼ぶ。このとき、{{Math|1=''a'' : ''b'' = ''b'' : ''c'' = ''r''}} が成り立つ。}}。

== 等比数列の和 ==
等比数列の初項から第 {{mvar|n}} 項までの和は以下の式で定義される。
:<math>\textstyle\sum\limits_{k=0}^n ar^k = a + ar + \dotsb + ar^n</math>
{{math2|''r'' ≠ 1}} の場合、{{math2|(1 &minus; ''r'')}} を掛けると、
:<math>\begin{align}
  (1-r)\textstyle\sum\limits_{k=0}^n ar^k
  &= a(1-r) \textstyle\sum\limits_{k=0}^n r^k \\
  &= a(1-r)(1+r+\dotsb+r^{n-1}+r^n) \\
  &= a\left( (1 + \bcancel{r+\dotsb+r^{n-1}+r^n}) \right. \\
  &\left.-( \bcancel{r+r^2+\dotsb+r^n} + r^{n+1}) \right) \\
  &= a(1-r^{n+1}) 
\end{align}</math>
となるので、等比数列の和は以下のように変形できる。
:<math>\textstyle\sum\limits_{k=0}^n ar^k = \dfrac{a(1-r^{n+1})}{1-r} \quad (r \ne 1)\,.</math>
ただし、{{math2|1=''r'' = 1}} の場合は
:<math>\textstyle\sum\limits_{k=0}^n a = (n+1)a</math>
である。第 {{mvar|m}} 項から第 {{mvar|n}} 項までの和は
:<math>\textstyle\sum\limits_{k=m}^n ar^k = \sum\limits_{k=0}^n ar^k - \sum\limits_{k=0}^{m-1} ar^k = \dfrac{a(r^m - r^{n+1})}{1-r} \quad (r \ne 1) \,.</math>

== {{vanc|等比級数|幾何級数|無限等比級数}} ==
等比数列の[[級数]]（[[総和]]）を'''等比級数'''または'''幾何級数'''と呼ぶ<ref name="kbgp">{{コトバンク|等比数列}}</ref>。例えば初項 {{Mvar|a}}, 公比 {{Mvar|r}} の等比級数は以下のように書ける：
:<math display="block">
  \sum_{k=0}^{\infty}ar^k
  = a + ar + \dotsb + ar^k + \dotsb {}\,.
</math>

等比級数は初項が 0 （{{math|1=''a'' = 0}}）の場合や公比の[[絶対値]]が 1 より小さい（{{math|{{abs|''r''}} &lt; 1}}）場合に[[収束級数|収束]]する。逆に、初項が 0 でなく（{{math|1=''a'' ≠ 0}}）公比の絶対値が 1 以上（{{math|{{abs|''r''}} &ge; 1}}）の場合には等比級数は[[発散級数|発散]]する。

無限級数は数列の第 {{mvar|n}} 項までの部分和の[[極限 (数学)|極限]]として定義される。等比級数が収束することは、以下の部分和の極限が収束することから確かめられる。
:<math display="block">
\begin{align}
  \sum_{k=0}^{\infty} ar^k
  &:= \lim_{n\to\infty} 
     \sum_{k=0}^{n} ar^k \\
  &= a\lim_{n\to\infty}
     \frac{\;1-r^{n+1}}{1-r\;} \\
  &\overset{|r| < 1}{=} \frac{a}{1-r}
\end{align}
</math>

例えば公比 {{math|{{sfrac|2}}}} で初項が {{math|1}} の等比級数は {{math|2}} に収束する：
:<math display="block">
  \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k
  = \frac{1}{1-\tfrac{1}{2}} = 2 \,.
</math>
[[ファイル:Geometric progression convergence diagram.svg|thumb|{{math|1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯}} という幾何級数が {{math|2}} に収束することを幾何学的に示した図。]]

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 注釈 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{notelist2}}

== 参考文献 ==

== 関連項目 ==
<!--項目の五十音順-->
* [[級数]]
* [[数列]]
* [[超幾何級数]]
* [[等差数列]]
* [[ねずみ算]]

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|等比数列|2=[[竹之内脩]]}}
*{{Kotobank|等比級数|2=世界大百科事典}}
*{{高校数学の美しい物語|948|等比数列の和の公式（例題・証明・応用）}}
*{{MathWorld|title=Geometric Sequence|urlname=GeometricSequence}}
*{{MathWorld|title=Geometric Series|urlname=GeometricSeries}}

{{Algebra-stub}}
{{級数}}

{{DEFAULTSORT:とうひすうれつ}}
[[Category:初等数学]]
[[Category:数列]]
[[Category:数学に関する記事]]