等角共役のソースを表示

[[ファイル:Isogonal_Conjugate.svg|右|サムネイル|
{{Legend-line|solid lime|3本の[[角の二等分線]]は[[内心]] {{mvar|I}}で交わる}}
{{Legend-line|solid blue|{{mvar|P}}と各[[頂点]]を結ぶ直線}}
{{Legend-line|solid red|青い線を角の二等分線で鏡映した線（'''等角共役線'''）、{{mvar|P}}の等角共役点 {{mvar|P*}}で交わる}}]]
[[ファイル:Isogonal_Conjugate_transform.svg|右|サムネイル|三角形の内側の点を等角共役による変換]]
[[幾何学]]において、'''等角共役'''（とうかくきょうやく、[[英語|英]]:isogonal conjugate,isogonal conjugation）は、[[三角形]]{{Math|△''ABC''}}と点{{Mvar|P}}について、{{Mvar|A, B, C}}の[[角の二等分線]]で、直線{{Mvar|PA, PB, PC}}を[[鏡映]]した線の交点{{Mvar|P*}}のこと、または{{Mvar|P}}と{{Mvar|P*}}の関係である。

{{Mvar|A, B, C}}の角の二等分線で、直線{{Mvar|PA, PB, PC}}を鏡映した線（'''等角共役線'''、isogonal lines）が一点で交わることは[[チェバの定理]]の逆で示すことができる<ref>{{Cite web |title=等角共役点とその証明 |url=https://manabitimes.jp/math/881 |website=高校数学の美しい物語 |date=2021-03-07 |access-date=2024-05-11 |language=ja}}</ref>。 {{Mvar|P}}に対して、{{Mvar|P*}}を等角共役、または'''等角共役点'''と言う。{{Mvar|P*}}の等角共役点は{{Mvar|P}}である。

== 例 ==

* [[三角形の内接円と傍接円|内心と傍心]]の等角共役点はその点自身である。
* [[垂心]]{{Mvar|H}}の等角共役点は[[外心]]''{{mvar|O}}''である。
* [[幾何中心|重心]]{{Mvar|G}}の等角共役点は[[類似重心]]{{Mvar|K}}である（類似重心の定義）。
* [[フェルマー点]]の等角共役点は[[等力点]]である。
* 2つの[[ブロカール点]]は互いに等角共役である。

== 性質 ==
[[三線座標]]系で、<math>X=x:y:z</math> とする。ただし<math>X</math>は[[頂点]]でないとする。<math>X</math>の等角共役点は<math>\tfrac{1}{x} : \tfrac{1}{y} : \tfrac{1}{z}</math>である。 故に、{{Mvar|X}}の等角共役点は{{Math|''X''{{sup| –1}}}}で表されることもある。三角形の中心の[[集合]]''{{mvar|S}}''で三線座標の積（trilinear product）は以下の式で定義される。

: <math>(p:q:r)*(u:v:w) = pu:qv:rw,</math>

したがって{{Mvar|S}}を[[アーベル群]]として見ると、{{Mvar|X}}の[[逆元]]は{{Math|''X''{{sup| –1}}}}である。

[[関数 (数学)|関数]]としての等角共役として、等角共役は[[直線]]や[[円 (数学)|円]]にも適用できる。直線の等角共役は[[接円錐曲線|外接円錐曲線]]になる。直線が[[外接円]]とそれぞれ0,1,2点で交わるとき、その等角共役は[[楕円]]、[[放物線]]、[[双曲線]]となる<ref>{{Cite web |url=https://nnn.ed.jp/about/club/kenkyubu/pdf/2022/kiyou_07.pdf |title=等角共役とシムソン線の幾何学 |access-date=2024/5/12 |publisher=角川ドワンゴ学園N/S高等学校研究部 |author=齋藤輝}}</ref>。例えば[[ブロカール点|ブロカール軸]]、[[オイラー線]]の等角共役はそれぞれ[[キーペルト双曲線]]、[[ジェラベク双曲線]]である。外接円の等角共役は[[無限遠点|無限遠直線]]である。

幾つかの有名な[[三次曲線]]（[[ノイベルグ三次曲線]]や[[17点3次曲線]]、[[マッケイ三次曲線|McCay Cubic]]）は{{Mvar|X}}と{{Math|''X''{{sup| –1}}}}がともに線上にある三次曲線（自己等角共役、self-isogonal-conjugate）である<ref>{{Cite web |title=homepage |url=http://bernard-gibert.fr/ |website=Catalogue_of_Triangle_Cubics |access-date=2024-05-11 |publisher=Bernard Gibert}}</ref>。

== 他の定義 ==
[[ファイル:A_Second_Definition_Of_Isogonal_Conjugate.png|サムネイル|等角共役点の2つ目の定義]]
{{Mvar|P}}を{{Mvar|BC, CA, AB}}で鏡映した点を{{Mvar|P{{sub|a}}, P{{sub|b}}, P{{sub|c}}}}とする。円{{Math|''P{{sub|a}}P{{sub|b}}P{{sub|c}}''}}の中心は{{Mvar|P}}の等角共役点である<ref>{{Cite web |author=Steve Phelps |title=Constructing Isogonal Conjugates |url=https://www.geogebra.org/m/sRVERPyd |website=GeoGebra |publisher=GeoGebra Team |access-date=17 January 2022}}</ref>。これは{{Mvar|P}}の[[垂足円]]の中心が、その等角共役点との[[中点]]となるためである。

== 一般化 ==
2021年、[[ダオ・タイン・オアイ]]（Dao Thanh Oai）は、等角共役の一般化を示した<ref name=Lozada> [https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCpart23.html#X44687 César Eliud Lozada, Preamble before  X(44687)][[Encyclopedia of Triangle Centers]]</ref>。

{{math|△''ABC''}}と[[接円錐曲線|外接円錐曲線]]{{math|Ω}}、そして点{{mvar|P}}について、{{mvar|AP,BP,CP}}と{{math|Ω}}が再び交わる点をそれぞれ{{mvar|A',B',C'}}とする。{{mvar|A',B',C'}}を通る{{mvar|BC,CA,AB}}の[[平行線]]と{{math|Ω}}の第二交点を{{mvar|A",B",C"}}として、{{mvar|AA",BB",CC"}}は共点である。これをダオ共役（Dao conjugate）という<ref>{{Cite web |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCpart23.html#X44687 |title=Encyclopedia of Triangle Centers |access-date=2024-10-20 |author=[[Clark Kimberling]]}}</ref>。

{{math|Ω}}の中心{{mvar|X}}と{{mvar|P}}の[[重心座標]]をそれぞれ{{math|''x'' : ''y'' : ''z'' , ''p'' : ''q'' : ''r''}}、として{{mvar|P}}のダオ共役点は、<math>x(x-y-z)qr::</math>と表される。

{{mvar|X}}が[[外心]]で{{math|Ω}}が[[外接円]]ならば等角共役、
{{mvar|X}}が[[幾何中心]]で{{math|Ω}}が[[シュタイナー楕円]]ならば等長共役、{{mvar|X}}がX(1249)ならばpolar conjugateである<ref name=Lozada/>。
== 関連 ==

* [[等長共役]]
* [[チェビアン#チェバ共役|チェバ共役]]
* [[中心線 (幾何学)|Centaral lines]]
* [[三角形の中心|三角形の心]]

== 参考文献 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* [https://web.archive.org/web/20110319132218/http://www.uff.br/trianglecenters/isogonal-conjugate_en.html Interactive Java Applet illustrating isogonal conjugate and its properties]
* [http://mathworld.wolfram.com/IsogonalConjugate.html MathWorld]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/OrthologicPedal.shtml Pedal Triangle and Isogonal Conjugacy]
{{デフォルトソート:とうかくきようやく}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角形]]