等角共役

テンプレート:Legend-line テンプレート:Legend-line テンプレート:Legend-line

三角形の内側の点を等角共役による変換

幾何学において、等角共役（とうかくきょうやく、英:isogonal conjugate,isogonal conjugation）は、三角形テンプレート:Mathと点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarの角の二等分線で、直線テンプレート:Mvarを鏡映した線の交点テンプレート:Mvarのこと、またはテンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの関係である。

テンプレート:Mvarの角の二等分線で、直線テンプレート:Mvarを鏡映した線（等角共役線、isogonal lines）が一点で交わることはチェバの定理の逆で示すことができる。 テンプレート:Mvarに対して、テンプレート:Mvarを等角共役、または等角共役点と言う。テンプレート:Mvarの等角共役点はテンプレート:Mvarである。

例

• 内心と傍心の等角共役点はその点自身である。
• 垂心テンプレート:Mvarの等角共役点は外心テンプレート:Mvarである。
• 重心テンプレート:Mvarの等角共役点は類似重心テンプレート:Mvarである（類似重心の定義）。
• フェルマー点の等角共役点は等力点である。
• 2つのブロカール点は互いに等角共役である。

性質

三線座標系で、$X=x:y:z$ とする。ただし$X$は頂点でないとする。$X$の等角共役点は$\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z}$である。 故に、テンプレート:Mvarの等角共役点はテンプレート:Mathで表されることもある。三角形の中心の集合テンプレート:Mvarで三線座標の積（trilinear product）は以下の式で定義される。

$(p:q:r)*(u:v:w)=pu:qv:rw,$

したがってテンプレート:Mvarをアーベル群として見ると、テンプレート:Mvarの逆元はテンプレート:Mathである。

関数としての等角共役として、等角共役は直線や円にも適用できる。直線の等角共役は外接円錐曲線になる。直線が外接円とそれぞれ0,1,2点で交わるとき、その等角共役は楕円、放物線、双曲線となる。例えばブロカール軸、オイラー線の等角共役はそれぞれキーペルト双曲線、ジェラベク双曲線である。外接円の等角共役は無限遠直線である。

幾つかの有名な三次曲線（ノイベルグ三次曲線や17点3次曲線、McCay Cubic）はテンプレート:Mvarとテンプレート:Mathがともに線上にある三次曲線（自己等角共役、self-isogonal-conjugate）である。

他の定義

等角共役点の2つ目の定義

テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarで鏡映した点をテンプレート:Mvarとする。円テンプレート:Mathの中心はテンプレート:Mvarの等角共役点である。これはテンプレート:Mvarの垂足円の中心が、その等角共役点との中点となるためである。

一般化

2021年、ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）は、等角共役の一般化を示した。

テンプレート:Mathと外接円錐曲線テンプレート:Math、そして点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvarとテンプレート:Mathが再び交わる点をそれぞれテンプレート:Mvarとする。テンプレート:Mvarを通るテンプレート:Mvarの平行線とテンプレート:Mathの第二交点をテンプレート:Mvarとして、テンプレート:Mvarは共点である。これをダオ共役（Dao conjugate）という。

テンプレート:Mathの中心テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの重心座標をそれぞれテンプレート:Math、としてテンプレート:Mvarのダオ共役点は、$x(x-y-z)qr::$と表される。

テンプレート:Mvarが外心でテンプレート:Mathが外接円ならば等角共役、 テンプレート:Mvarが幾何中心でテンプレート:Mathがシュタイナー楕円ならば等長共役、テンプレート:MvarがX(1249)ならばpolar conjugateである。

関連

• 等長共役
• チェバ共役
• Centaral lines
• 三角形の心

外部リンク

• Interactive Java Applet illustrating isogonal conjugate and its properties
• MathWorld
• Pedal Triangle and Isogonal Conjugacy