等長共役のソースを表示


[[幾何学]]において、'''等長共役'''<ref>{{Cite book|和書 |title=数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何学を巡る船旅 |publisher=[[日本評論社]] |year=2023 |page=92 |author=Evan Chen |isbn=9784535789784}}</ref>（とうちょうきょうやく、{{Lang-en-short|isotomic conjugate}}）は、{{Math|△''ABC''}}と点{{Mvar|P}}について定義される点の一つとの関係である<ref>{{Cite web |url=https://cdn.geogebra.org/resource/nmdarut6/CBJ0Q2HmSHYgBD7T/material-nmdarut6.pdfvv |title=Isotomic and isogonal conjugates |access-date=2024/5/25 |publisher=Geogebra}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200501.pdf |title=Where are the Conjugates? |access-date=2024/5/25 |publisher=Forum Geometricorum}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200410.pdf |title=Triangles with Special Isotomic Conjugate Pairs |access-date=2024/5/25 |publisher=Forum Geometricorum |author=K. R. S. Sastry}}</ref>。'''等距離共役'''、'''等線分共役'''、'''等截共役'''とも訳される<ref>{{Cite book|和書 |title=近世幾何学 |year=1947 |publisher=[[岩波書店]] |pages=5,124-125 |author=[[窪田忠彦]] |doi=10.11501/1063410}}</ref><ref name=":1">{{Cite book|和書 |title=幾何学辞典 : 問題解法 続 訂補10版 (数学辞典叢書) |year=1912 |publisher=長沢亀之助 |pages=618,637 |author=[[長沢亀之助]] |doi=10.11501/952919}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://sugakuyugi.web.fc2.com/toukyori.pdf |title=等距離共役点 |access-date=2024-7-25}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=近世幾何学 |year=1929 |publisher=[[積善館]] |pages=65,75,84 |doi=10.11501/1171033 |author=[[森本清吾]]}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=幾何学続編 |year=1909 |publisher=[[有朋堂]] |pages= |author=[[ジョン・ケイシー (数学者)|ジョン・ケージー]] |doi=10.11501/828521 |translator=[[山下安太郎]], [[高橋三蔵]] |page=221}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 |year=1953 |publisher=[[朝倉書店]] |page=34 |author=[[森本清吾]] |doi=10.11501/1372292}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=座標幾何学 (共立全書 ; 第40) |year=1952 |publisher=[[共立出版]] |pages=87,127 |author=[[森本清吾]] |doi=10.11501/1372006}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=沢山勇三郎全集 |year=1938 |publisher=[[岩波書店]] |author=[[森本清吾]] |doi=10.11501/1239383 |pages=125-127}}</ref>。

== 定義 ==
[[ファイル:Isotomic_conjugate_of_a_point.svg|サムネイル|400x400ピクセル]]
{{Math|△''ABC''}}と、その辺上にない点{{Mvar|P}}について、{{Mvar|A', B', C'}} をそれぞれ、直線{{Mvar|AP, BP, CP}}と{{Mvar|BC, CA, AB}}の交点とする。次に{{Mvar|A', B', C'}}を辺{{Mvar|{{overline|BC}}, {{overline|CA}}, {{overline|AB}}}}の[[中点]]で鏡映した点を、それぞれ{{Mvar|A", B", C"}}とする。このとき{{Mvar|AA", BB", CC"}}を'''等長共役線'''（isotomic lines）または等距離線と言う。3つの等長共役線は[[チェバの定理]]より一点で交わる。その点を{{Mvar|P}}の'''等長共役点'''または等截点<ref name=":1" />、もしくは単に等長共役といい、{{Mvar|P}}とその等長共役点との関係を等長共役と言う。

== 座標 ==
{{Mvar|P}}の[[三線座標]]を {{Mvar|''p'' : ''q'' : ''r''}}とすると、{{Mvar|P}}の等長共役点の三線座標は以下の式で与えられる。

: <math>a^{-2}p^{-1} : b^{-2}q^{-1} : c^{-2}r^{-1},</math>

ここで {{Mvar|a, b, c}}はそれぞれ、三角形の{{Mvar|A, B, C}}の対辺の長さである。

{{Mvar|P}}の[[重心座標]]を {{Mvar|''p'' : ''q'' : ''r''}}とすると、{{Mvar|P}}の等長共役点の重心座標は以下の式で与えられる。

: <math>p^{-1} : q^{-1} : r^{-1}</math>

== 性質 ==

* {{Math|△''ABC''}}の[[幾何中心|重心]]の等長共役点は重心自身である。
* [[類似重心]]の等長共役点は[[ブロカール点#関連する点|第三ブロカール点]]である。
* [[ジェルゴンヌ点]]の等長共役点は[[ナーゲル点]]である。
* [[シュタイナー楕円]]上の点の等長共役は[[無限遠点|無限遠直線]]に移る。
* [[等角共役点]]、等長共役点と元の点が[[共線]]であるような点の[[軌跡 (数学)|軌跡]]はシュタイナー-ウォレス双曲線、ウォレス双曲線（Steiner-Wallace hyperbola,Wallace hyperbola）と呼ばれる。ウォレス双曲線は[[キーペルト双曲線]]を重心を中心に-2倍拡大した（[[補点 (三角形)|2:1の反転]]をした）図形で、中心は[[シュタイナー点]]である<ref>{{Cite web |title=Extended glossary |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ext_glossary.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-05-25}}</ref><ref>{{Cite web |title=table61 |url=http://bernard-gibert.fr/Tables/table61.html |website=bernard-gibert.fr |access-date=2024-05-25}}</ref>。また、重心、[[傍心|内心と傍心]]を通る。

== 関連項目 ==

* [[等角共役]]
* [[三角形の中心]]
* [[等長写像]]
== 出典 ==

* Robert Lachlan, ''An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry'', Macmillan and Co., 1893, page 57.
* [[Roger A. Johnson]]: ''Advanced Euclidean Geometry''. Dover 2007, {{ISBN2|978-0-486-46237-0}}, pp. 157–159, 278
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|id=IsotomicConjugate|title=Isotomic Conjugate}}
* Pauk Yiu: [http://math.fau.edu/yiu/Oldwebsites/Geometry2013Fall/Geometry2013Chapter12.pdf ''Isotomic and isogonal conjugates'']
* Navneel Singhal: [https://pregatirematematicaolimpiadejuniori.files.wordpress.com/2016/07/isogonal-conjugates-1.pdf ''Isotomic and isogonal conjugates'']
* C. Kimberling:[https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/glossary.html Encyclopedia of Triangle Centers]
{{デフォルトソート:とうちようきようやく}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]