等長共役

幾何学において、等長共役^[1]（とうちょうきょうやく、テンプレート:Lang-en-short）は、テンプレート:Mathと点テンプレート:Mvarについて定義される点の一つとの関係である^[2]^[3]^[4]。等距離共役、等線分共役、等截共役とも訳される^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]。

定義

テンプレート:Mathと、その辺上にない点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvar をそれぞれ、直線テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarの交点とする。次にテンプレート:Mvarを辺テンプレート:Mvarの中点で鏡映した点を、それぞれテンプレート:Mvarとする。このときテンプレート:Mvarを等長共役線（isotomic lines）または等距離線と言う。3つの等長共役線はチェバの定理より一点で交わる。その点をテンプレート:Mvarの等長共役点または等截点^[6]、もしくは単に等長共役といい、テンプレート:Mvarとその等長共役点との関係を等長共役と言う。

テンプレート:Mvarの三線座標をテンプレート:Mvarとすると、テンプレート:Mvarの等長共役点の三線座標は以下の式で与えられる。

a^{- 2} p^{- 1} : b^{- 2} q^{- 1} : c^{- 2} r^{- 1},

ここでテンプレート:Mvarはそれぞれ、三角形のテンプレート:Mvarの対辺の長さである。

テンプレート:Mvarの重心座標をテンプレート:Mvarとすると、テンプレート:Mvarの等長共役点の重心座標は以下の式で与えられる。

p^{- 1} : q^{- 1} : r^{- 1}

テンプレート:Mathの重心の等長共役点は重心自身である。
類似重心の等長共役点は第三ブロカール点である。
ジェルゴンヌ点の等長共役点はナーゲル点である。
シュタイナー楕円上の点の等長共役は無限遠直線に移る。
等角共役点、等長共役点と元の点が共線であるような点の軌跡はシュタイナー-ウォレス双曲線、ウォレス双曲線（Steiner-Wallace hyperbola,Wallace hyperbola）と呼ばれる。ウォレス双曲線はキーペルト双曲線を重心を中心に-2倍拡大した（2:1の反転をした）図形で、中心はシュタイナー点である^[13]^[14]。また、重心、内心と傍心を通る。

Robert Lachlan, An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, Macmillan and Co., 1893, page 57.
Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, テンプレート:ISBN2, pp. 157–159, 278