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'''算術級数の素数定理'''（さんじゅつきゅうすうのそすうていり）は、初項 ''a'' と公差 ''d'' が[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である[[等差数列]]に含まれる素数で、''x'' 以下のものの数を <math>\pi_{d, a}(x)</math> で表すとき、
::    <math>\pi_{d, a}(x) \sim \frac{1}{\varphi(d)}\mathrm{Li}(x)</math> 
となるという[[定理]]である。

==歴史==
<math>\gcd(a, d)=1</math> である自然数 ''a'', ''d'' に対し、<math>dn + a</math> (n は[[自然数]])と書ける素数が無限に存在することは古くから予想されていた。

[[エウクレイデス]]（ユークリッド）は素数が無限に多く存在することの証明を変形し、 4''n''+3 の形の素数が無限に多く存在する事を証明した。[[レオンハルト・オイラー]]は[[フェルマー数]] ''F''<sub>''k''</sub>はどの2つも互いに素であること、''F''<sub>''k''</sub>の素因数は ''n'' 2<sup>''k''+1</sup>+1 の形をしていることを示したが、これから任意の整数 ''k'' に対し、''n'' 2<sup>''k''</sup>+1の形の素数が無限に多く存在することがわかる。[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]は一般の円分多項式の値の性質から、 <math>dn + 1</math> の形の素数が無限に多く存在する事を証明した。これらの証明はいずれも初等的であるが、一般の初項に対しては拡張できない。

[[1837年]]に[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]が[[L関数]] <math>L(s, \chi)</math> を導入し、<math>L(1, \chi)\neq 0</math> を示す事で初めて<math>\gcd(a, d)=1</math> である自然数 ''a'', ''d'' に対し、<math>dn + a</math>の形の素数が無限に多く存在する事、さらに、 ''x'' 以下の該当する素数の逆数の和は<math>\sim (\log\log x) /\varphi(d)</math>を満たすことを示した。

算術級数の素数定理
::    <math>\pi_{d, a}(x) \sim \frac{1}{\varphi(d)}\mathrm{Li}(x)</math>
は{{仮リンク|シャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン|fr|Charles-Jean de La Vallée Poussin}}によって証明された。彼は素数定理を証明したのと同様の方法をディリクレの[[L関数]]に用い、 ''t'' が0でない実数で、<math>a< c/\log t</math> のとき <math>L(1-a+it, \chi)\neq 0</math> となる定数 ''c'' が存在することを示すことによってこの定理をより強い形
::    <math>\pi_{d, a}(x)=\frac{1}{\varphi(d)}\mathrm{Li}(x)+O(x\exp(-c_1 \sqrt{\log x}))</math>
（ここで ''c''<sub>1</sub> は ''d'' に依存する正の定数）で証明した。

==算術級数の素数定理の拡張==
算術級数の素数定理が証明された後、<math>\pi_{d, a}(x)</math> の誤差項の改善が大きな課題となった。

{{仮リンク|イヴァン・ヴィノグラードフ|en|Ivan Matveyevich Vinogradov}}（1958年）は[[指数和]]の評価を用いて誤差項を <math>O(x\exp(-c_1 (\log x)^{3/5}(\log\log x)^{-1/5}))</math> に改善した。これが現在知られている最良の誤差項である。

一方、[[ゴールドバッハ予想]]などの数論上の問題の研究の過程で、''d''に対する依存の評価がより重要であると考えられるようになった。このときに問題となるのは<math>L(s, \chi)</math>は &chi; が実指標のとき、<math> s>1-c/\log t</math> を満たす零点を持つ可能性を除外できないことである。ただし、正の実数 ''s'' に対して <math>L(s, \chi)=0</math> となる事例はあるとしても1個しか存在しない。

[[類数公式#ディリクレの類数公式|ディリクレの類数公式]]から、任意の正の &epsilon; に対して <math>(L(1, \chi))^{-1}=O(d^{1/2+\epsilon})</math> であることがわかり、これから<math>L(s, \chi)</math> の実の零点 ''s'' は <math>s<1-c/t^{1/2+\epsilon}</math> を満たすことが従う。ここで ''c'' は計算可能な正の定数である。

[[カール・ジーゲル]]は[[二次体]]の[[類数]]についての研究結果から任意の正の &epsilon; に対して <math>(L(1, \chi))^{-1}=O(d^{\epsilon})</math> を示し、これから <math>s<1-c/t^{\epsilon}</math> を
示した。ただしこのときは ''c'' は計算可能ではない。これは後に{{仮リンク|セオドア・エスターマン|en|Theodor Estermann}}によって[[複素函数論]]の基礎的な定理のみを用いて証明された。この結果から、任意の正の &epsilon; に対して、<math>x>\exp k^{\epsilon}</math> ならば
::    <math>\pi_{d, a}(x)=\frac{1}{\varphi(d)}\mathrm{Li}(x)+O(x\exp(-c_1 \sqrt{\log x}))</math>
（ここで ''c''<sub>1</sub> は &epsilon; にのみ依存する正の定数）
が成り立つ事が示される。

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2015年7月4日 (土) 04:50 (UTC)}}
* K. Prachar, ''Primzahlverteilung'', Springer-Verlag, 1955, 1978.
* H. Iwaniec and E. Kowalski, ''Analytic Number Theory'', American Mathematical Society, 2004.

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[[Category:素数]]
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