算術級数の素数定理

算術級数の素数定理（さんじゅつきゅうすうのそすうていり）は、初項 a と公差 d が互いに素である等差数列に含まれる素数で、x 以下のものの数を ${\pi }_{d,a}(x)$ で表すとき、

${\pi }_{d,a}(x)\sim \frac{1}{\phi (d)}\mathrm{L}\mathrm{i}(x)$

となるという定理である。

歴史

$\gcd (a,d)=1$ である自然数 a, d に対し、$dn+a$ (n は自然数)と書ける素数が無限に存在することは古くから予想されていた。

エウクレイデス（ユークリッド）は素数が無限に多く存在することの証明を変形し、 4n+3 の形の素数が無限に多く存在する事を証明した。レオンハルト・オイラーはフェルマー数 F_kはどの2つも互いに素であること、F_kの素因数は n 2^k+1+1 の形をしていることを示したが、これから任意の整数 k に対し、n 2^k+1の形の素数が無限に多く存在することがわかる。アドリアン＝マリ・ルジャンドルは一般の円分多項式の値の性質から、 $dn+1$ の形の素数が無限に多く存在する事を証明した。これらの証明はいずれも初等的であるが、一般の初項に対しては拡張できない。

1837年にペーター・グスタフ・ディリクレがL関数 $L(s,\chi )$ を導入し、$L(1,\chi )\ne 0$ を示す事で初めて$\gcd (a,d)=1$ である自然数 a, d に対し、$dn+a$の形の素数が無限に多く存在する事、さらに、 x 以下の該当する素数の逆数の和は$\sim (\log \log x)/\phi (d)$を満たすことを示した。

算術級数の素数定理

${\pi }_{d,a}(x)\sim \frac{1}{\phi (d)}\mathrm{L}\mathrm{i}(x)$

はテンプレート:仮リンクによって証明された。彼は素数定理を証明したのと同様の方法をディリクレのL関数に用い、 t が0でない実数で、$a<c/\log t$ のとき $L(1-a+it,\chi )\ne 0$ となる定数 c が存在することを示すことによってこの定理をより強い形

${\pi }_{d,a}(x)=\frac{1}{\phi (d)}\mathrm{L}\mathrm{i}(x)+O(x\exp (-c_1\sqrt{\log x}))$

（ここで c₁ は d に依存する正の定数）で証明した。

算術級数の素数定理の拡張

算術級数の素数定理が証明された後、${\pi }_{d,a}(x)$ の誤差項の改善が大きな課題となった。

テンプレート:仮リンク（1958年）は指数和の評価を用いて誤差項を $O(x\exp (-c_1(\log x{)}^{3/5}(\log \log x{)}^{-1/5}))$ に改善した。これが現在知られている最良の誤差項である。

一方、ゴールドバッハ予想などの数論上の問題の研究の過程で、dに対する依存の評価がより重要であると考えられるようになった。このときに問題となるのは$L(s,\chi )$は χ が実指標のとき、$s>1-c/\log t$ を満たす零点を持つ可能性を除外できないことである。ただし、正の実数 s に対して $L(s,\chi )=0$ となる事例はあるとしても1個しか存在しない。

ディリクレの類数公式から、任意の正の ε に対して $(L(1,\chi ){)}^{-1}=O(d^{1/2+ϵ})$ であることがわかり、これから$L(s,\chi )$ の実の零点 s は $s<1-c/t^{1/2+ϵ}$ を満たすことが従う。ここで c は計算可能な正の定数である。

カール・ジーゲルは二次体の類数についての研究結果から任意の正の ε に対して $(L(1,\chi ){)}^{-1}=O(d^{ϵ})$ を示し、これから $s<1-c/t^{ϵ}$ を 示した。ただしこのときは c は計算可能ではない。これは後にテンプレート:仮リンクによって複素函数論の基礎的な定理のみを用いて証明された。この結果から、任意の正の ε に対して、$x>\exp k^{ϵ}$ ならば

${\pi }_{d,a}(x)=\frac{1}{\phi (d)}\mathrm{L}\mathrm{i}(x)+O(x\exp (-c_1\sqrt{\log x}))$

（ここで c₁ は ε にのみ依存する正の定数） が成り立つ事が示される。

参考文献

• K. Prachar, Primzahlverteilung, Springer-Verlag, 1955, 1978.
• H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory, American Mathematical Society, 2004.