箙 (数学)のソースを表示

{{imagestack|
<gallery perrow="1" caption="箙の例">
File:4-subspace quiver.svg
File:1-loop quiver.svg
</gallery>
}}
[[数学]]、特に[[結合多元環|結合代数]]の[[表現論]]において'''箙'''（えびら）あるいは'''クイバー'''（{{lang-en-short|quiver}}）とは、多重辺とループを許す[[有向グラフ]]のことである。{{仮リンク|P. Gabriel|fr|Pierre Gabriel (mathématicien)}}によって1972年に導入された<ref>{{citation | last1=Gabriel | first1=Peter | title=Unzerlegbare Darstellungen. I | doi=10.1007/BF01298413 | mr=0332887 | year=1972 | journal=Manuscripta Mathematica | issn=0025-2611 | volume=6 | issue=1 | pages=71&ndash;103}}</ref>。[[代数的閉体]]上の任意の有限次元代数は、ある箙から定まる[[#道代数|道代数]]の商代数と[[森田同値]]になる ([[#有限次元代数の表現論との関係|Gabriel]])。

== 定義 ==
集合 {{mvar|V, E}} と写像 {{math|''s'', ''t'': ''E'' &rarr; ''V''}} が与えられたとき、組 {{math|''Q'' {{=}} (''V'', ''E'', ''s'', ''t'')}} を'''箙'''という{{sfn|Assem et al.|2006|page={{google books quote|id=ayNHpi3tYhQC|page=41|41}}}}。このとき {{mvar|V}} の元を'''頂点'''、{{mvar|E}} の元を'''辺'''あるいは'''矢'''という。また辺 {{math|''&alpha;'' &isin; ''E''}} に対して頂点 {{math|''s''(''&alpha;'')}} を'''始点'''、{{math|''t''(''&alpha;'')}} を'''終点'''という。
{{math|(''V'', ''E'')}} は {{math|(''Q''{{sub|0}}, ''Q''{{sub|1}})}} や {{math|(''I'', &Omega;)}} とも書かれ、{{mvar|s}}, {{mvar|t}} は {{math|out}}, {{math|in}} とも書かれる。

頂点集合 {{mvar|V}} と辺集合 {{mvar|E}} が共に有限集合のとき、箙 {{mvar|Q}} は'''有限'''であるという。また、各頂点を出入りする辺が有限個であるとき、箙は'''局所有限'''であるという。

辺の列 {{math|''&alpha;''<sub>1</sub>, &hellip;, ''&alpha;''<sub>''n''</sub> &isin; ''E''}} が条件 {{math|''t''(''&alpha;''<sub>''i''</sub>) {{=}} ''s''(''&alpha;''<sub>''i'' + 1</sub>) (1 &le; ''i'' &lt; ''n'')}} を満たすとき、辺の列 {{math|''&alpha;''<sub>1</sub>, &hellip;, ''&alpha;''<sub>''n''</sub>}} を'''[[道 (グラフ理論)|道]]'''という。このとき {{math|''n'' &ge; 1}} を'''道の長さ'''、頂点 {{math|''a'' {{=}} ''s''(''&alpha;''<sub>1</sub>)}} を'''道の始点'''、{{math|''b'' {{=}} ''t''(''&alpha;''<sub>''n''</sub>)}} を'''道の終点'''という。この道を記号で以下のように表す。
:<math> (a|\alpha_1, \dotsc, \alpha_n|b) </math>
ここで、頂点 {{math|''v'' &isin; ''V''}} のことを便宜的に長さが 0 の（自明な）道といい、その始点と終点は {{mvar|v}} と定める。上と同様にこれを {{math|(''v''{{!}}{{!}}''v'')}} と表す。

== 道代数 ==
箙 {{mvar|Q}} に対して、長さ 0 以上の道からなる集合を基底とする[[可換体|体]] {{mvar|k}} 上の自由[[線型空間]]を {{mvar|kQ}} とおく。ここで道 {{math|(''a''{{!}}''&alpha;''<sub>1</sub>, &hellip;, ''&alpha;''<sub>''n''</sub>{{!}}''b'')}} と {{math|(''c''{{!}}''&beta;''<sub>1</sub>, &hellip;, ''&beta;''<sub>''m''</sub>{{!}}''d'')}} に対して以下のように積を定める。
:<math>
 (a|\alpha_1, \dots, \alpha_n|b)(c|\beta_1, \dotsc, \beta_m|d) = 
 \begin{cases}
  (a|\alpha_1, \dotsc, \alpha_n, \beta_1, \dotsc, \beta_m|d) & (b = c) \\
  0                                        & (b \neq c)
 \end{cases}
</math>
この代数 {{mvar|kQ}} を'''道代数'''（{{lang-en-short|path algebra}}）という{{sfn|Assem et al.|2006|page={{google books quote|id=ayNHpi3tYhQC|page=43|43}}}}。

== 例 ==
頂点集合 {{mvar|V}} を {{math|{{mset|1, &hellip;, {{mvar|n}}}}, 辺集合 {{mvar|E}} を {{math|{{mset|''&alpha;''<sub>1</sub>, &hellip;, ''&alpha;''<sub>''n''&minus;1</sub>}}}}, {{math|''s''(''&alpha;''<sub>''i''</sub>) {{=}} ''i'' + 1}}, {{math|''t''(''&alpha;''<sub>''i''</sub>) {{=}} ''i''}} とおく。通常、箙 {{math|''Q'' {{=}} (''V'', ''E'', ''s'', ''t'')}} は以下のように図示される。
:<math> Q : 1 \stackrel{\alpha_1}{\longleftarrow} 2 \stackrel{\alpha_2}{\longleftarrow} \dotsb \stackrel{\alpha_{n - 1}}{\longleftarrow} n </math>
このとき、道代数 {{mvar|kQ}} は {{mvar|n}} 次下[[三角行列]]のなす代数と同型である{{sfn|Assem et al.|2006|page={{google books quote|id=ayNHpi3tYhQC|page=52|52}}}}。

また頂点集合 {{mvar|V}} を一点集合 {1}、辺集合 {{mvar|E}} を {{math|{{mset|''&alpha;''<sub>1</sub>, &hellip;, ''&alpha;''<sub>''n''</sub>}}}},  {{math|''s''(''&alpha;''<sub>''i''</sub>) {{=}} 1}}, {{math|''t''(''&alpha;''<sub>''i''</sub>) {{=}} 1}} とおく。このとき、道代数
{{mvar|kQ}} は[[自由代数]] {{math|''k''&lang;''x''<sub>1</sub>, &hellip;, ''x''<sub>''n''</sub>&rang;}} と同型である。
<!--
Kronecker quiver とか
-->

== 箙の表現 ==
{{節stub}}
箙 {{math|(''I'', &Omega;)}} の'''表現'''とは，{{mvar|I}}-[[次数付きベクトル空間]] {{math|(''V{{sub|i}}''){{sub|''i'' &isin; ''I''}}}} と線型写像 {{math|(''&phi;{{sub|&alpha;}}'': ''V''{{sub|out(''&alpha;'')}} &rarr; ''V''{{sub|in(''&alpha;'')}}}}){{sub|''&alpha;'' &isin; &Omega;}}}} の組である．

この表現 {{mvar|V}} が有限次元であるとは，各ベクトル空間が有限次元であることであり，このときその'''次元ベクトル''' {{math|{{underline|dim}} ''V''}} とは {{math|(dim ''V{{sub|i}}''){{sub|''i'' &isin; ''I''}}}} のことである。

2つの表現の間の'''射'''は適切な整合条件を満たす線型写像の組であり、表現の全体は[[アーベル圏]]をなす。

とくに oriented cycle をもたない有限な箙については，その[[単純加群]]、[[直既約]][[射影対象|射影加群]]、直既約[[移入対象|移入加群]]が極めて容易に分類できる。

[[有限群]]と[[群環]]の場合と同様、箙の表現から道代数の表現を作ることができ、逆に道代数の表現から箙の表現が得られる。

==有限次元代数の表現論との関係==
有限な箙 {{mvar|Q}} のすべての辺から生成される道代数 {{mvar|kQ}} の[[両側イデアル]]を {{mvar|R}} とおく。このとき、道代数 {{mvar|kQ}} の両側イデアル {{mvar|I}} が'''認容的'''（{{lang-en-short|admissible}}）であるとは、
:<math> R^m \leq I \leq R^2 </math>
となる自然数 {{math|''m'' &ge; 2}} が存在することをいう{{sfn|Assem et al.|2006|page={{google books quote|id=ayNHpi3tYhQC|page=53|53}}}}。

[[代数的閉体]] {{mvar|k}} 上の任意の有限次元代数 {{mvar|A}} に対して、有限な箙 {{mvar|Q}} とその道代数 {{mvar|kQ}} の認容的イデアル {{mvar|I}} が存在して、有限次元代数 {{mvar|A}} は商代数 {{math|''kQ''/''I''}} と[[森田同値]]である{{sfn|Zimmermann|2014|page={{google books quote|id=yRhMBAAAQBAJ|page=414|414}}}}。

== ガブリエルの定理 ==
{{main|ガブリエルの定理}}
[[ガブリエルの定理]]は、有限な箙の表現と[[ディンキン図形]]とを結びつける{{sfn|Assem et al.|2006|page=291|loc=5.10. Theorem}}。

== 脚注 ==
{{reflist|30em}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|last1      = Assem
|first1     = Ibrahim
|last2      = Simson
|first2     = Daniel
|last3      = Skowronski
|first3     = Andrzej
|year       = 2006
|title      = Elements of the Representation Theory of Associative Algebras 1. Techniques of Representation Theory
|series     = London Mathematical Society student texts
|volume     = 65
|url        = {{google books|ayNHpi3tYhQC|Elements of the Representation Theory of Associative Algebras|plainurl=yes}}
|publisher  = Cambridge University Press
|isbn       = 0-521-58423-X
|ref        = {{sfnref|Assem et al.|2006}}
|mr        = 2197389
|zbl       = 1092.16001 
}}

* {{cite book
|last1      = Zimmermann
|first1     = Alexander 
|year       = 2014
|title      = Representation Theory: A Homological Algebra Point of View
|series     = Algebra and applications
|url        = {{google books|yRhMBAAAQBAJ|Representation Theory: A Homological Algebra Point of View|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer
|isbn       = 978-3-319-07967-7
|ref        = harv
|mr         = 3289041
|zbl        = 1306.20001
}}

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|アウスランダー・ライテン理論|en|Auslander–Reiten theory}}
* [[傾理論]]
* {{仮リンク|箙多様体|en|quiver variety}}
* {{仮リンク|リンゲル・ホール代数|en|Ringel–Hall algebra}}
* {{仮リンク|preprojective algebra|en|preprojective algebra}}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM | title=Quiver | id=Quiver&oldid=18622 | last=Ringel | first=C.M. }}
* [http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~nakajima/ebira-j.html 箙について（中島啓）]

{{DEFAULTSORT:えひら}}
[[Category:多元環論]]
[[Category:表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]