米田の補題のソースを表示

'''米田の補題'''（よねだのほだい、{{lang-en-short|Yoneda lemma}}）とは、小さなhom集合をもつ[[圏 (数学)|圏]] {{Math|'''C'''}} について、共変あるいは反変[[hom関手]] {{Math|hom(''A'' , _)}}, {{Math|hom(_, ''A'')}} から集合値関手 {{Math|''F''}} への[[自然変換]]と、値となる集合 {{Math|''F''(''A'')}} の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、[[米田信夫]]に因んで[[ソーンダース・マックレーン]]により名付けられた<ref>{{harvnb|Kinoshita|1996}}</ref><ref>{{harvnb|Kinoshita|1998}}</ref><ref>{{harvnb|MacLane|1998a}}</ref>。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという<ref>{{Harvnb|Mac Lane|1998|p=77}}</ref>。ただし、{{仮リンク|エミリー・リール|en|Emily Riehl}}によれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは {{Harvtxt|Grothendieck|1960}} である<ref>{{Harvnb|Riehl|2016|p=57}}</ref>。

米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」<ref>{{Harvnb|Riehl|2016|p=50}}</ref>「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもしれない」<ref>{{Harvnb|Awodey|2010|p=191}}</ref>と言われている。

==概要==

=== 主張の内容 ===
{{Math|'''C'''}} を局所的に小さい（locally small）圏とする。すなわち {{Math|'''C'''}} の各対象 {{Mvar|A}}, {{Mvar|B}} に対して {{Math|hom(''A'', ''B'')}} は集合であるとする。対象 {{Mvar|A}} を固定するとき、共変hom関手 {{Math|1=''H''<sup>''A''</sup> = hom(''A'', _) : '''C''' → '''Set'''}} は対象 {{Mvar|X}} に対して、集合 {{Math|hom(''A'', ''X'')}} を割り当て、射 {{Math|''f'' : ''X'' → ''Y''}} に対して写像 {{Math|1=hom(''A'', ''f'') = ''f'' ◦ (_) : hom(''A'', ''X'') → hom(''A'', ''Y'')}} を割り当てる関手であった。さらに、 {{Math|''F'' : '''C''' → '''Set'''}} を集合値関手とし、{{Math|''H''<sup>''A''</sup>}} から {{Mvar|F}} へのすべての自然変換のクラス {{Math|Nat(''H''<sup>''A''</sup>, ''F'')}} について考える。

このとき、'''米田写像'''（Yoneda map）と呼ばれる全単射<math display="block">y:\mathop{\mathrm{Nat}}(H^A,F)\cong F(A)</math>が存在し、この同型は {{Math|''A'' ∈ '''C'''}} と {{Math|''F'' ∈ '''Set'''<sup>'''C'''</sup>}} について自然である、という主張が米田の補題である。また、{{Mvar|F}} が反変関手 {{Math|'''C'''<sup>op</sup> → '''Set'''}} である場合も、反変hom関手 {{Math|1=''H''<sub>''A''</sub> = hom(_, ''A'')}} との間に<math display="block">y:\mathop{\mathrm{Nat}}(H_A,F)\cong F(A)</math>という全単射が存在して、これは {{Mvar|A}} と {{Mvar|F}} について自然となる。このことはどちらも米田の補題と呼ばれる。

=== 米田写像の対応 ===
関手 {{Mvar|F}} は共変 ({{Math|'''C''' → '''Set'''}}) とする。このとき、共変hom関手 {{Math|1=''H''<sup>''A''</sup> = hom(''A'', _)}} から {{Mvar|F}} への自然変換 {{Math|''τ'' : ''H''<sup>''A''</sup> ⇒ ''F''}} は、任意の {{Mbf|C}} の射 {{Math|''f'' : ''X'' → ''Y''}} に対して <math display="inline">\tau_Y\circ H^A(f)=Ff\circ\tau_X</math> が定義から成り立つ。いま、{{Math|''f'' : ''A'' → ''Y''}} の場合に、{{Mvar|A}} での恒等射 {{Math|id<sub>''A''</sub>}} がどのように写るかを追うことで、等式<math display="block">\tau_Y(f)=Ff(\tau_X(\mathrm{id}_A))</math>を得る。ここから、自然変換 {{Math|''τ'' : ''H''<sup>''A''</sup> ⇒ ''F''}} の情報は <math display="inline">\tau_X(\mathrm{id}_A)\in F(A) </math> から全て得られることがわかる。

==証明==
米田写像 {{Mvar|y}} を、自然変換 {{Mvar|τ}} に対して <math>y(\tau)=\tau_A(\mathrm{id}_A)</math> で定める。{{Mvar|y}} が全単射であることを示す。

'''単射性'''：{{Math|''a'' ∊ ''F''(''A'')}} に対して、自然変換 {{Math|''τ'' : ''H''<sup>''A''</sup> ⇒ ''F''}} が存在して {{Math|1=''y''(''τ'') = ''a''}} であったとする。このとき、任意の射 {{Math|''f'' : ''A'' → ''Y''}} に対して {{Mvar|τ}} は <math display="inline">\tau_Y(a)=Ff(a)</math> を満たす。これにより {{Mvar|τ}} の全てのコンポーネントが一意に定まる、すなわちそのような {{Mvar|τ}} は一意に定まるため、{{Mvar|y}} は単射である。

'''全射性'''：{{Math|''a'' ∊ ''F''(''A'')}} を任意に固定する。{{Math|'''C'''}} の対象 {{Mvar|X}} それぞれに対して、写像 {{Math|''τ''<sub>''X''</sub> : hom(''A'', ''X'') → ''F''(''X'')}} を <math display="inline">\tau_X(f)=Ff(a)</math> で定める。このとき、{{Math|''f'' : ''X'' → ''Y''}} と {{Math|''g'' : ''A'' → ''X''}} に対して <math>Ff(\tau_X(g))=F(f\circ g)(a)=\tau_Y(f\circ g)</math> が成り立つことから、{{Math|''τ''<sub>''X''</sub>}} はある自然変換 {{Math|''τ'' : ''H''<sup>''A''</sup> ⇒ ''F''}} のコンポーネントである。定義から {{Math|1=''τ''<sub>''A''</sub>(id<sub>''A''</sub>) = ''a''}} であるため {{Math|1=''y''(''τ'') = ''a''}} が成り立つ。すなわち {{Mvar|y}} は全射である。

== 補題の帰結 ==

=== 普遍性 ===
集合値関手 {{Math|''F'' : '''C''' → '''Set'''}} が、ある {{Math|1=''H''<sup>''A''</sup> = hom(''A'', _)}} と自然同型であるとき、{{Mvar|F}} を[[表現可能関手]] (representable functor) といい、{{Mvar|A}} は {{Mvar|F}} の表現対象 (representing object) あるいは単に {{Mvar|F}} の表現という。{{Mvar|F}} が表現可能関手であるとき、米田の補題の帰結として次の主張が成り立つ。
{{Math theorem|圏 {{Mbf|C}} が局所的に小さく、関手 {{Math|''F'' : '''C''' → '''Set'''}} は表現可能とする。このとき、{{Mvar|F}} の表現は以下の条件が成り立つような {{Mbf|C}} の対象 {{Mvar|A}} と {{Math|''u'' ∈ ''F''(''A'')}} の組によって構成される。
* 任意の {{Math|''B'' ∈ '''C'''}} と {{Math|''x'' ∈ ''F''(''B'')}} の組に対して、{{Mbf|C}} の射 {{Math|{{Overline|''x''}} : ''A'' → ''B''}} がただ1つ存在して、{{Math|''F''{{Overline|''x''}}(''u'') {{=}} ''x''}} が成り立つ。|note={{Harvnb|Leinster|2014|loc=Corollary 4.3.3}}}}
逆に、上記定理の条件を満たす {{Mvar|A}} と {{Math|''u'' ∈ ''F''(''A'')}} の組を {{Mvar|F}} の普遍要素 (universal element) と呼ぶ。より一般に、関手 {{Math|''F'' : '''C''' → '''D'''}} と {{Math|''d'' ∈ '''D'''}} に対して、{{Mvar|d}} の {{Mvar|F}} への[[普遍性]] (universality) とは、{{Math|''A'' ∈ '''C'''}} と {{Mbf|D}} の射 {{Math|''u'' : ''d'' → ''FA''}} の組であって、任意の {{Math|''B'' ∈ '''C'''}} と {{Mbf|D}} の射 {{Math|''x'' : ''d'' → ''FB''}} に対して、{{Mbf|C}} の射 {{Math|{{Overline|''x''}} : ''A'' → ''B''}} がただ1つ存在して、{{Math|1=''F''{{Overline|''x''}} ◦ ''u'' = ''x''}} が成り立つことを言う。

普遍要素の性質は一点集合からの普遍性と言えて、普遍性は {{Math|'''D'''(''d'', ''F''_) : '''C''' → '''Set'''}} の普遍要素として表現できるため、普遍性・普遍要素・表現可能関手はそれぞれ互いの概念を包含する<ref>{{Harvnb|Mac Lane|1998|pp=57–61}}</ref>。

=== 米田埋め込み ===
米田写像の自然性から、対象 {{Math|''A'' ∈ '''C'''}} に関手 {{Math|1=''H''<sup>''A''</sup> = hom(''A'', _)}}、あるいは {{Math|1=''H''<sub>''A''</sub> = hom(_, ''A'')}} を割り当てる操作は、関手

<math display="block">H^\bull:\mathbf{C}^{\mathrm{op}}\to[\mathbf{C},\mathbf{Set}]\quad(H_\bull:\mathbf{C}\to[\mathbf{C}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]) </math>を構成する。米田の補題から <math display="inline">\mathop{\mathrm{Nat}}(H^A,H^B)\cong H^B(A)=\mathop{\mathrm{hom}}(A,B)</math> であるため、{{Math|''H''<sup>•</sup>}} ({{Math|''H''<sub>•</sub>}}) は忠実充満であることが言える。このことから、{{Math|''H''<sup>•</sup>}} ({{Math|''H''<sub>•</sub>}}) を'''米田埋め込み''' (Yoneda embedding) とも呼ぶ。米田埋め込みは {{Mvar|Y}} <ref>{{Harvtxt|Mac Lane|1998}} など。</ref>や {{Math|よ}} <ref>{{Cite journal|last=Johnson-Freyd|first=Theo|last2=Scheimbauer|first2=Claudia|year=2017|date=2017-02-05|title=(Op)lax natural transformations, twisted quantum field theories, and “even higher” Morita categories|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870816303164|journal=Advances in Mathematics|volume=307|pages=147–223|language=en|arxiv=1502.06526|doi=10.1016/j.aim.2016.11.014|issn=0001-8708}}</ref><ref>{{Cite book|洋書|title=(Co)end Calculus|url=https://www.cambridge.org/core/books/coend-calculus/C662E90767358B336F17B606D19D8C43|publisher=Cambridge University Press|date=2021|location=Cambridge|isbn=978-1-108-74612-0|doi=10.1017/9781108778657|first=Fosco|last=Loregian|access-date=2022-10-01|arxiv=1501.02503}}</ref>などの記号によって表されることもある。

関手 {{Math|''F'' : '''C''' → '''Set'''}} に対して、{{Mvar|F}} の「要素の圏」(category of elements) {{Math|''El A''}} とは、{{Math|''X'' ∊ '''C'''}}、{{Math|''x'' ∈ ''FX''}} の組とその関係を保つ {{Mbf|C}} の射からなる圏 (すなわち、米田埋め込み {{Math|''Y''<sub>'''C'''</sub>: '''C'''<sup>op</sup> → '''Set'''<sup>'''C'''</sup>}} を用いたコンマ圏 {{Math|''Y''<sub>'''C'''</sub> ↓ ''F''}}) のことである。{{Math|''El A''}} から {{Mbf|C}} の情報を取り出す関手を {{Math|Φ<sub>''F''</sub> : ''El F'' → '''C'''<sup>op</sup>}} と表すとき、{{Mvar|F}} は {{Math|''Y''<sub>'''C'''</sub> ◦ Φ<sub>''F''</sub> : ''El F'' → '''Set'''<sup>'''C'''</sup>}} の余極限 (と同型) である<ref>{{Harvnb|Adámek|Rosický|Vitale|2010|p=8|loc=§0.14}}</ref>。つまり、任意の集合値関手は表現可能関手による余極限として表される。

=== 前層の部分対象分類子 ===
[[ファイル:SubobjectClassifier-02.png|サムネイル|部分対象分類子の可換図式]]
有限の極限を持つ圏 {{Mbf|C}} 上の{{日本語版にない記事リンク|前層 (圏論)|en|Presheaf (category theory)|label=前層|interwikilabel=presheaf|links=no}}とは {{Mbf|C}} からの反変関手 {{Math|''P'' : '''C'''<sup>op</sup> → '''Set'''}} のことであり、このとき前層の圏を {{Math|1={{Hat|'''C'''}} = '''Set'''<sup>'''C'''<sup>op</sup></sup>}} で表す。圏 {{Mbf|{{Hat|C}}}} の{{日本語版にない記事リンク|部分対象分類子|en|subobject classifier|links=no}}とは、(存在するならば) {{Mbf|{{Hat|C}}}} の対象 {{Math|Ω}} と[[モニック射|モノ射]] {{Math|true : 1 → Ω}} ({{Math|1}}は[[始対象と終対象|終対象]]) であって、任意のモノ射 {{Math|''j'' : ''U'' → ''X''}} に対して、{{Math|1=''χ''<sub>''j''</sub> ◦ ''j'' = true}} かつその可換図式が[[引き戻し (圏論)|引き戻し]]となるような <math display="inline">\chi_j:X\to\Omega</math> がただ1つ存在するようなものを言う。

前層の圏 {{Mbf|{{Hat|C}}}} への米田埋め込みを {{Math|''Y'': '''C''' → '''Set'''<sup>'''C'''<sup>op</sup></sup>}} で表すとする。いま、{{Mbf|{{Hat|C}}}} に部分対象分類子 {{Math|Ω : '''C'''<sup>op</sup> → '''Set'''}} が存在するならば、特に {{Math|1=''YC'' = Hom<sub>'''C'''</sub>(_, ''C'')}} ({{Math|''C'' ∈ '''C'''}}) について<math display="block">\mathrm{Hom}_{\hat{\mathbf{C}}}(YC,\Omega)=\mathop{\mathrm{Nat}}(\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(\_,C),\Omega)\cong\Omega(C)</math>が成り立つ (右の同型が米田の補題から従う)。部分対象分類子の定義から、左辺の集合は {{Mvar|YC}} の部分対象の集合と互いに1対1対応する。従って、等式全体が {{Mvar|C}} について自然であることから、{{Mbf|{{Hat|C}}}} は必ず部分対象分類子を持ち、それは表現可能な前層 {{Mvar|YC}} の部分対象を調べればよいことがわかる<ref>{{Harvnb|Mac Lane|Moerdijk|1992|pp=37–39}}</ref>。

== 豊穣圏での補題 ==
[[豊穣圏]]とは、通常の圏におけるhom集合 (すなわち対象の間の射の集合) の代わりに、[[順序集合]]、[[加法群]]、その他の対象 (一般には、ある[[モノイド圏|モノイダル圏]] {{Mvar|V}} の対象として記述される) を割り当てるような一般化した構造であり、例えばこの意味で通常の圏は {{Mbf|Set}}-豊穣圏、2-圏は {{Mbf|Cat}}-豊穣圏と言える。豊穣圏の理論では、{{Mvar|V}} の条件によって (具体的には[[完備圏|完備]]かどうかによって) 米田の補題は強いものと弱いものに分けられる。
{{Math theorem|圏 {{Mvar|V}} は対称モノイダル閉、{{Mvar|A}} は {{Mvar|V}}-豊穣圏で {{Mvar|K}} はその対象、{{Math|''F'' : ''A'' → ''V''}} は {{Mvar|V}}-関手とする。このとき、{{Math|''A''(''K'', _)}} から {{Mvar|F}} への {{Mvar|V}}-自然変換の集合と、圏 {{Mvar|V}} における {{Mvar|I}} (モノイダル積の単位対象) から {{Mvar|FK}} への射の集合の間には全単射が存在する。|note={{Harvnb|Kelly|2005|p=21|loc=§1.9}}|name=(弱い) 米田の補題}}{{Math theorem|圏 {{Mvar|V}} は対称モノイダル閉かつ完備とする。このとき、{{Mvar|V}}-関手 {{Math|''F'' : ''A'' → ''V''}} と {{Math|''K'' ∈ ''A''}} について、次の同型が {{Mvar|V}} に存在する。
<math display="block">\phi:FK\cong[A,V](A(K,\_),F)</math>|name=(強い) 米田の補題|note={{Harvnb|Kelly|2005|pp=33–34|loc=§2.4}}}}

ただし豊穣圏の理論において「関手圏」{{Math|[''A'', ''V'']}} のhom対象 {{Math|[''A'', ''V''](''A''(''K'', _), ''F'')}} にあたるものは、関手 {{Math|''V''(''A''(K, _), ''F''_)}} の{{仮リンク|エンド (圏論)|en|End (category theory)|label=エンド|interwikilabel=end}}である。<math display="block">[A,V](A(K,\_),F):=\int_{x\in A}V(A(K,x),Fx)</math>
== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references/>

==参考文献==
* {{Cite book|洋書|title=Algebraic Theories|year=2010|publisher=Cambridge University Press|ref=harv|last=Adámek|first=J.|isbn=9780511760754|last2=Rosický|first2=J.|last3=Vitale|first3=E. M.|doi=10.1017/CBO9780511760754}}
* {{Cite book|title=Category Theory|year=2010|publisher=Oxford University Press|ref=harv|last=Awodey|first=Steve|author-link=:en:Steve Awodey|series=Oxford Logic Guides|isbn=9780199237180|洋書}}
* {{Cite book|last1=Bucur|first1=I.|last2=Deleanu|first2=A.|title=Introduction to the theory of categories and functors|year=1968|洋書|publisher=Wiley|isbn=047011651X}}
* {{citation | last=Grothendieck|first=A.|洋書|ref={{Harvid|Grothendieck|1960}}| title=Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules.|year=1958-1960| url=http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=SB_1958-1960__5__369_0}}
<!--
* {{citation | last=Grothendieck|first=A.|洋書| title=Techniques de construction en géométrie analytique. IV. Formalisme général des foncteurs représentables|year=1960-1961| url=http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=SHC_1960-1961__13_1_A7_0}}
-->
* {{Cite book|洋書|title=Basic concepts of Enriched Category Theory|year=1982|publisher=Cambridge University Press|ref=harv|last=Kelly|first=G. M.|author-link=:en:Max Kelly|series=Lecture Notes in Mathematics|language=英語|isbn=978-0-521-28702-9|volume=64}}
** (再版) {{Cite journal|洋書|last=Kelly|first=G. M.|author-link=:en:Max Kelly|year=2005|title=Basic Concepts of Enriched Category Theory|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/10/tr10abs.html|journal=Reprints in Theory and Applications of Categories|volume=10|pages=1–136|accessdate=2022-09-25|ref=harv}}
* {{Cite Q|Q106653302|last=Kinoshita|first=Yoshiki}}
* {{Cite Q|Q106653378|last=Kinoshita|first=Yoshiki}}
* {{Cite book|title=Basic category theory|url=|date=|location=Cambridge|isbn=978-1-107-36006-8|oclc=886649936|first=Tom|last=Leinster|year=2014|publisher=Cambridge University Press|洋書|arxiv=1612.09375|ref=harv}}
* {{cite book|last=Mac Lane|first=S.|title=Categories for the Working Mathematician|publisher=Springer-Verlag|year=1998|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=5|url={{google books|MXboNPdTv7QC|plainurl=yes}}|isbn=0-387-98403-8 | ref=harv |洋書}} 邦訳：『圏論の基礎』
* {{Cite Q|Q106653429|last=MacLane|first=Saunders|year=1998a}}
* {{Cite book|洋書|title=Sheaves in Geometry and Logic : A First Introduction to Topos Theory|year=1992|publisher=Springer New York|ref=harv|last=Mac Lane|first=Saunders|isbn=978-0-387-97710-2|last2=Moerdijk|first2=Ieke|oclc=828776278|doi=10.1007/978-1-4612-0927-0}}
<!--
* {{Cite journal|洋書|last=Stauffer|first=H. B.|month=April|year=1971|title=A Relationship between Left Exact and Representable Functors|journal=Canadian Journal of Mathematics|volume=23|issue=2|pages=374–380|ref=harv|DOI=10.4153/CJM-1971-038-2|ISSN=0008-414X}}
* {{Cite journal|洋書|last=Stauffer|first=H. B.|year=1972|title=The completion of an abelian category|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=170|pages=403-414|publisher=American Mathematical Society|ref=harv|DOI=10.1090/S0002-9947-1972-0302738-0}}
-->
* {{Cite book|洋書|title=Category Theory in Context|year=2016|publisher=Dover Publications|ref=harv|last=Riehl|first=Emily|url=https://emilyriehl.github.io/files/context.pdf|format=pdf|series=Aurora; Modern Math Originals|access-date=2022-09-22|isbn=9780486809038}}

== 関連項目 ==
* [[図式スキーム]]
* [[ホモロジー代数]]
* [[アーベル圏]]

{{圏論}}

{{DEFAULTSORT:よねたのほたい}}
[[Category:圏論]]
[[Category:補題]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]