純虚指数函数のソースを表示

[[初等解析学]]における函数 '''{{math|cis}}''' とは、[[実数]] {{mvar|x}} を[[複素数]] {{math|cos(''x'') + ''i'' sin(''x'')}} に対応させる関数のことである<ref name="Swokowski_2011"/><ref name="Simmons_2014_1">{{Cite web |title=Cis |first=Bruce |last=Simmons |date=2014-07-28 |orig-year=2004 |work=Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus |publisher=[[Clackamas Community College]], Mathematics Department |location=Oregon City, OR, US |url=http://www.mathwords.com/c/cis.htm |accessdate=2016-01-15}}</ref><ref name="Simmons_2014_2">{{cite web |title=Polar Form of a Complex Number |first=Bruce |last=Simmons |date=2014-07-28 |orig-year=2004 |work=Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus |publisher=[[Clackamas Community College]], Mathematics Department |location=Oregon City, OR, US |url=http://www.mathwords.com/p/polar_form_of_a_complex_number.htm |accessdate=2016-01-15}}</ref><ref name="Pierce_2016">{{cite web |first=Rod |last=Pierce |title=Complex Number Multiplication |work=Maths Is Fun |date=2016-01-04 |orig-year=2000 |url=http://www.mathsisfun.com/algebra/complex-number-multiply.html |accessdate=2016-01-15}}</ref>。ここで {{math|cos}} は[[三角関数|余弦関数]]、{{math|sin}} は[[三角関数|正弦関数]]、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]である。
:{{math|cis(''x'') {{coloneqq}} cos(''x'') + ''i'' sin(''x'')}}
"{{math|cis}}" は "{{math|'''c'''os + '''''i''''' '''s'''in}}" の省略形である。

この函数 {{math|cis: '''R''' → ''S''{{sup|1}}(⊂ '''C'''*)}} は、[[複素指数函数]] {{mvar|e{{sup|z}}}} を用いれば、[[オイラーの公式]]より
:{{math|1=cis(''x'') = ''e{{sup|ix}}''}}
と表せる。すなわち'''純虚変数 {{mvar|ix}} の指数函数'''（じゅんきょへんすうのしすうかんすう、{{lang-en-short|imaginary exponential function}}）として書くことができる。複素指数函数とは別にこのような表記を設けることは、一見冗長であるように思われるが、偏角 {{mvar|x}} の関数であることを強調する上で有用となる。

== 概観 ==
初めて造語 {{math|cis}} が用いられたのは[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]の著書 ''Elements of Quaternions'' (1866)<ref name="Hamilton_1866">{{cite book |title=Elements of Quaternions |author=[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]] |date=1866-01-01 |edition=1 |editor-first=William Edwin<!-- son of William Rowan --> |editor-last=Hamilton |publisher=[[Longmans, Green & Co.]] |publication-place=London, UK |location=Dublin |others=[[University Press (Dublin)|University Press]], [[Michael Henry Gill]], Dublin (printer) |chapter=II. Fractional powers, General roots of unity |url=https://archive.org/stream/bub_gb_fIRAAAAAIAAJ#page/n5/mode/1up |accessdate=2016-01-17 |pages=250–257, 260, 262–263 |quote={{small[…] {{nobr|cos […] + ''i'' sin […]}} we shall occasionally ''abridge'' to the following: […] cis […]. As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present ''exposition'' of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent ''practise'' thereof; and the same remark applies to the recent ''abrigdement'' cis, for {{nobr|cos + ''i'' sin}} […]}}}} ([https://archive.org/stream/elementsquaterni00hamirich#page/n0/mode/1up], [https://books.google.com/books?id=b2stAAAAYAAJ])</ref>であり、引き続いて{{仮リンク|アーヴィング・ストリンガム|en|Irving Stringham}}が ''Uniplanar Algebra'' (1893)<ref name="Stringham_1893">{{Anchors|Stringham-1893}}Stringham-1893{{cite book |title=Uniplanar Algebra, being part&nbsp;1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis |author=[[Irving Stringham]] |date=1893-07-01 |orig-year=1891 |edition=1 |volume=1 |publisher=[[The Berkeley Press]] |others=C. A. Mordock & Co. (printer) |location=San Francisco, US |pages=71-75, 77, 79-80, 82, 84-86, 89, 91-92, 94-95, 100-102, 116, 123, 128-129, 134-135 |url=https://archive.org/details/uniplanaralgebra00stri |accessdate=2016-01-18 |quote={{small|As an abbreviation for {{nobr|cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ''}} it is convenient to use cis ''θ'', which may be read: ''sector of θ''.}}}}</ref><ref name="Cajori_1929"/>などで、あるいは{{仮リンク|ジェームズ・ハークネス|en|James Harkness}}と[[フランク・モーリー]] が ''Introduction to the Theory of Analytic Functions'' (1898)<ref name="Cajori_1929">{{Cite book |author=[[Florian Cajori]] |title=A History of Mathematical Notations |volume=2 |orig-year=1929<!-- 1929-03 --> |publisher=[[Open court publishing company]] |location=Chicago, US |year=1952 |edition=2 (3rd corrected printing of 1929 issue) |page=133 |isbn=978-1-60206-714-1 |id=1602067147 |url=https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC |accessdate=2016-01-18 |quote={{small|[[#Stringham-1893|Stringham]] denoted {{nobr|cos ''β'' + ''i'' sin ''β''}} by "cis ''β''", a notation also used by [[#Harkness-Morley-1898|Harkness and Morley]].}}}} (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, US, 2013.)</ref><ref name="Harkness_Morley_1898">{{Anchors|Harkness-Morley-1898}}Harkness-Morley-1898{{cite book |title=Introduction to the Theory of Analytic Functions |author1=[[James Harkness]] |author2=[[Frank Morley]] |year=1898 |edition=1 |publisher=[[Macmillan and Company]] |location=London, UK |pages=18, 22, 48, 52, 170 |url=https://books.google.com/books?id=W1FLAAAAMAAJ |accessdate=2016-01-18 |isbn=978-1164070191 |id=1164070193}} (NB. ISBN for reprint by Kessinger Publishing, 2010.)</ref>で用いた。

cis関数は、[[複素数平面]]において[[オイラーの公式]]を通じて[[三角関数]]と[[複素指数函数]]とを結びつけるもので、極形式を簡素化したいが、複素指数函数が教育課程で未習の場合、または何らかの理由で用いたくない場合に使用する<ref name="Hamilton_1866"/><ref name="Stringham_1893"/><ref name="Swokowski_2011">{{Cite book |title=Precalculus: Functions and Graphs |work=Precalculus Series |first1=Earl |last1=Swokowski |first2=Jeffery |last2=Cole |edition=12 |publisher=[[Cengage Learning]] |year=2011 |isbn=0840068573 |id=9780840068576 |url=https://books.google.com/books?id=8GB2Udf8wnoC |accessdate=2016-01-18}}</ref>。

情報技術において、様々な高度数学ライブラリ（例えば[[インテル]]の [[Math Kernel Library]] (MKL)<ref name="Intel_MKL">{{Cite web |title=v?CIS |author=[[Intel]] |work=[[Intel Developer Zone]] |url=http://software.intel.com/en-us/node/521797 |accessdate=2016-01-15}}</ref>）でサポートされており、多くのコンパイラやプログラミング言語（例えば [[C (programming language)|C]], [[C++]],<ref name="Intel_2007_C++">{{Cite web |title=Intel C++ Compiler Reference |year=2007 |orig-year=1996 |publisher=[[インテル|Intel Corporation]] |pages=34, 59-60 |id=307777-004US |url=http://supercomputer.susu.ru/upload/users/instructions/C_Compiler_Reference.pdf |accessdate=2016-01-15}}</ref> [[Common Lisp]],<ref name="Lisp">{{Cite web |title=CIS |work=[[Common Lisp Hyperspec]] |year=1996 |publisher=[[The Harlequin Group Limited]] |url=http://www.ai.mit.edu/projects/iiip/doc/CommonLISP/HyperSpec/Body/fun_cis.html |accessdate=2016-01-15}}</ref><ref name="Lisp_2005">{{Cite web |title=CIS |publisher=[[LispWorks, Ltd.]] |year=2005 |orig-year=1996 |url=http://clhs.lisp.se/Body/f_cis.htm#cis |accessdate=2016-01-15}}</ref> [[D (programming language)|D]],<ref name="D_2011">{{cite web |title=std.math: expi |work=D programming language |date=2016-01-11 |orig-year=2000 |publisher=[[Digital Mars]] |url=http://dlang.org/phobos/std_math.html#.expi |accessdate=2016-01-14}}</ref> [[Fortran]],<ref name="Intel_2008_Fortran">{{Cite web |title=Installation Guide and Release Notes |work=Intel Fortran Compiler Professional Edition 11.0 for Linux |edition=11.0 |date=2008-11-06 |url=http://www.ualberta.ca/CNS/RESEARCH/NumStatsServers/Intel/Documentation.28Apr11/Release_NotesF.pdf |accessdate=2016-01-15}}</ref> [[Haskell (programming language)|Haskell]]<ref name="Haskell">{{Cite web |title=CIS |work=Haskell reference |publisher=ZVON |url=http://zvon.org/other/haskell/Outputcomplex/cis_f.html |accessdate=2016-01-15}}</ref>）およびオペレーティングシステム（例えば [[Microsoft Windows|Windows]], [[Linux]],<ref name="Intel_2008_Fortran"/> [[macOS]] や [[HP-UX]]<ref name="HP_2007_UX">{{Cite web |title=HP-UX 11i v2.0 non-critical impact: Changes to the IPF libm (NcEn843) – CC Impacts enhancement description – Major performance upgrades for power function and performace tuneups |year=2007 |publisher=[[Hewlett-Packard Development Company, L.P.]] |url=http://h21007.www2.hp.com/portal/download/files/unprot/STK/HPUX_STK_JPN/impacts/i843.html |accessdate=2016-01-15}}</ref>）で利用できる。プラットホームによっては、正弦函数と余弦函数を個別に呼び出すよりも二倍ほど速い<ref name="D_2011"/><ref name="Rationale_2003_C">{{Cite web |title=Rationale for International Standard - Programming Languages - C |version=5.10 |date=2003-04 |pages=114, 117, 183, 186-187 |url=http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf |accessdate=2010-10-17 |dead-url=no |archive-url=https://web.archive.org/web/20160606072228/http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/C99RationaleV5.10.pdf |archive-date=2016-06-06}}</ref>。
{{出典の明記|date=2016-01}}
第二次世界大戦後、数式記述にタイプライターが用いられるようになったころから、この記法はより広まった。上付き添え字は '{{math|cis}}' や '{{math|exp}}' よりも小さく、また上に偏っているから、手書きの場合でさえ困ることがある。{{math|''e''{{sup|''ix''{{sup|2}}}}}}, {{math|cis(''x''{{sup|2}})}}, {{math|exp(''ix''{{sup|2}})}} を比較してみると、読み手には {{math|cis(''x''{{sup|2}})}} が見易く読み取り易い{{要出典|date=2016-06}}。

{{math|cos(''x'') + ''i'' sin(''x'')}} を {{math|cis(''x'')}} と表記する {{math|cis}} 記法は、ある種の[[記憶術]] (c,i,s → {{math|cos + ''i'' sin}}) であり、cis函数について議論する数学者や技術者にとって、本質を強調するために有用となることがある。

== 性質 ==
複素数 {{math2|''z'' {{=}} ''x'' + ''iy''}}（{{math2|''x'', ''y''}} は実数）に対して、[[複素指数函数]]は次の式で表せる：
*{{math|1=exp(''z'') = exp(''x'')&sdot;cis(''y'')}}
{{math|cis(''x'') {{=}} cos(''x'') + ''i'' sin(''x'')}}<ref name="Weisstein_cis">{{MathWorld|title=Cis|urlnam=Cis.html}}</ref>と、
:{{math|1=cis(&minus;''x'') = cos(&minus;''x'') + ''i'' sin(&minus;''x'') = cos(''x'') &minus; ''i'' sin(''x'')}}
を連立することにより、{{math2|cos(''x''), sin(''x'')}} は cis関数で表せる：
* <math>\cos(x) = \frac{\operatorname{cis}(x) + \operatorname{cis}(-x)}{2} = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2},</math>
* <math>\sin(x) = \frac{\operatorname{cis}(x) - \operatorname{cis}(-x)}{2i}= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}</math>
* 微分：<math>\frac{d}{dz}\operatorname{cis}(z) = i\operatorname{cis}(z) = ie^{iz}</math><ref name="Fuchs_2011_2">{{Cite book |title=Analysis I |language=German |first=Martin |last=Fuchs |year=2011 |publisher=Fachrichtung 6.1 Mathematik, [[Universität des Saarlandes]], Germany´|chapter=11: Differenzierbarkeit von Funktionen |edition=WS<!-- Wintersemester --> 2011/2012 |pages=3, 13 |url=http://www.math.uni-sb.de/ag/fuchs/Ana1/Paragraph11.pdf |accessdate=2016-01-15}}</ref>
* 積分：<math>\int\operatorname{cis}(z)\,dz = -i\operatorname{cis}(z) = -ie^{iz}</math><ref name="Weisstein_cis"/>
以下はオイラーの公式から直ちに従う：
* <math>\operatorname{cis}(x+y) = \operatorname{cis}(x)\,\operatorname{cis}(y)</math><ref name="Fuchs_2011_1">{{Cite book |title=Analysis I |language=German |first=Martin |last=Fuchs |year=2011 |publisher=Fachrichtung 6.1 Mathematik, [[Universität des Saarlandes]], Germany´|chapter=8.IV: Spezielle Funktionen – Die trigonometrischen Funktionen |edition=WS 2011/2012 |pages=16-20 |url=http://www.math.uni-sb.de/ag/fuchs/Ana1/Paragraph8.pdf |accessdate=2016-01-15}}</ref>
* <math>\operatorname{cis}(x-y) = {\operatorname{cis}(x) \over \operatorname{cis}(y)}</math>
これらの等式は {{math2|''x'', ''y''}} が任意の複素数として成り立つ。{{math2|''x'', ''y''}} がともに実ならば
:<math>|\operatorname{cis}(x) - \operatorname{cis}(y)| \le |x-y|</math><ref name="Fuchs_2011_1"/>
と評価することができる。

== 関連項目 ==
* [[ド・モアブルの定理]]
* [[オイラーの公式]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Cis|title=Cis}}

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{{複素数}}-->
{{DEFAULTSORT:しゆんきよしすうかんすう}}
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