純虚指数函数

初等解析学における函数 テンプレート:Math とは、実数 テンプレート:Mvar を複素数 テンプレート:Math に対応させる関数のことである。ここで テンプレート:Math は余弦関数、テンプレート:Math は正弦関数、テンプレート:Mvar は虚数単位である。

テンプレート:Math

"テンプレート:Math" は "テンプレート:Math" の省略形である。

この函数 テンプレート:Math は、複素指数函数 テンプレート:Mvar を用いれば、オイラーの公式より

テンプレート:Math

と表せる。すなわち純虚変数 テンプレート:Mvar の指数函数（じゅんきょへんすうのしすうかんすう、テンプレート:Lang-en-short）として書くことができる。複素指数函数とは別にこのような表記を設けることは、一見冗長であるように思われるが、偏角 テンプレート:Mvar の関数であることを強調する上で有用となる。

概観

初めて造語 テンプレート:Math が用いられたのはウィリアム・ローワン・ハミルトンの著書 Elements of Quaternions (1866)であり、引き続いてテンプレート:仮リンクが Uniplanar Algebra (1893)などで、あるいはテンプレート:仮リンクとフランク・モーリー が Introduction to the Theory of Analytic Functions (1898)で用いた。

cis関数は、複素数平面においてオイラーの公式を通じて三角関数と複素指数函数とを結びつけるもので、極形式を簡素化したいが、複素指数函数が教育課程で未習の場合、または何らかの理由で用いたくない場合に使用する。

情報技術において、様々な高度数学ライブラリ（例えばインテルの Math Kernel Library (MKL)）でサポートされており、多くのコンパイラやプログラミング言語（例えば C, C++, Common Lisp, D, Fortran, Haskell）およびオペレーティングシステム（例えば Windows, Linux, macOS や HP-UX）で利用できる。プラットホームによっては、正弦函数と余弦函数を個別に呼び出すよりも二倍ほど速い。 テンプレート:出典の明記 第二次世界大戦後、数式記述にタイプライターが用いられるようになったころから、この記法はより広まった。上付き添え字は 'テンプレート:Math' や 'テンプレート:Math' よりも小さく、また上に偏っているから、手書きの場合でさえ困ることがある。テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math を比較してみると、読み手には テンプレート:Math が見易く読み取り易いテンプレート:要出典。

テンプレート:Math を テンプレート:Math と表記する テンプレート:Math 記法は、ある種の記憶術 (c,i,s → テンプレート:Math) であり、cis函数について議論する数学者や技術者にとって、本質を強調するために有用となることがある。

性質

複素数 テンプレート:Math2（テンプレート:Math2 は実数）に対して、複素指数函数は次の式で表せる：

• テンプレート:Math

テンプレート:Mathと、

テンプレート:Math

を連立することにより、テンプレート:Math2 は cis関数で表せる：

• $\cos (x)=\frac{\mathrm{cis}(x)+\mathrm{cis}(-x)}{2}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},$
• $\sin (x)=\frac{\mathrm{cis}(x)-\mathrm{cis}(-x)}{2i}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
• 微分：$\frac{d}{dz}\mathrm{cis}(z)=i\mathrm{cis}(z)=i{e}^{iz}$
• 積分：$\int \mathrm{cis}(z)dz=-i\mathrm{cis}(z)=-i{e}^{iz}$

以下はオイラーの公式から直ちに従う：

• $\mathrm{cis}(x+y)=\mathrm{cis}(x)\mathrm{cis}(y)$
• $\mathrm{cis}(x-y)=\frac{\mathrm{cis}(x)}{\mathrm{cis}(y)}$

これらの等式は テンプレート:Math2 が任意の複素数として成り立つ。テンプレート:Math2 がともに実ならば

$|\mathrm{cis}(x)-\mathrm{cis}(y)|\le |x-y|$

と評価することができる。

関連項目

• ド・モアブルの定理
• オイラーの公式

外部リンク

• テンプレート:MathWorld