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'''素イデアル'''（そイデアル、{{lang-en-short|prime ideal}}）は、[[環 (数学)|環]]の[[イデアル]]で、ある条件を満たすものである。歴史的には、[[素数]]（[[素元]]）の概念の拡張として[[デデキント]]によって[[代数体]]の[[整数環]]に対して定義された{{sfn|デュドネ|2013}}。整数環（一般に{{仮リンク|デデキント環|en|Dedekind domain|preserve=1}}）のすべてのゼロでない（整）イデアルは、素イデアルの有限個の積として（順序を除いて）一意的に書ける（イデアル論の基本定理）。[[概型|スキーム]]の理論は、図形の上の関数の成す[[可換環|環]]から下の空間を構成するという {{lang|en|idea}} がもとになっているが、その時に、その環の'''素イデアル'''ひとつひとつが、下の空間の点に対応する。 ==可換環に対して== ===定義=== 可換環 {{Mvar|R}} のイデアル {{math|''P'' ≠ ''R''}} が素イデアルであるとは、 * {{math|''a'', ''b'' ∈''R''}}, {{math|''ab'' ∈''P''}} のとき、{{math|''a'' ∈ ''P''}} または {{math|''b'' ∈ ''P''}} を満たすことを言う{{sfn|堀田|2006}}。 環 {{mvar|R}} の素イデアルのなす集合は {{math|[[環のスペクトル|Spec]](''R'')}} と表される。 ===例と性質=== *有理整数環 {{math|'''Z'''}} において、素数 {{math|''p''}} の倍数全体が成す[[イデアル]] {{math|''p'''''Z'''}} は素イデアルである。 :一般に、可換環 {{math|''R''}} において、その[[素元]] {{math|''p''}} が生成するイデアル {{math|''pR''}} は {{math|0}} でない素イデアルになる。これは逆も正しい。すなわち、{{math|''p'' ∈ ''R''}} に対し単項イデアル {{math|''pR'' ≠ 0}} が素イデアルならば、{{math|''p''}} は素元である。 *一般に、{{math|''R''}}, {{math|''S''}} を可換環、{{math|''f'': ''R'' → ''S''}} を[[環準同型|環の準同型]]としたとき、{{math|''f''}} による {{math|''S''}} の任意の素イデアルの引き戻し {{math|''f''<sup>−1</sup>(''S'')}} は、{{math|''R''}} の素イデアルになる。 *可換環 {{mvar|R}} のイデアル {{mvar|I}} が素イデアルであることと、剰余環 {{math|''R''/''I''}} が[[整域]]であることは同値である{{sfn|堀田|2006}}。とくに、{{math|0}} が素イデアルであることと {{math|''R''}} が整域であることは同値である。 *[[デデキント整域]]のすべての {{math|0}} でない真のイデアルは、素イデアルの積に一意的に分解する{{sfn|堀田|2006}}。 ===局所化=== <math>R</math> を環、<math>P</math> をその素イデアルとすると、集合 <math>S=R\setminus P</math> は[[積閉集合]]となる。<math>S</math> による <math>R</math> の[[環の局所化|局所化]] <math>S^{-1}R</math> を <math>R_P</math> と書く。これは <math>PR_P</math> を[[極大イデアル]]とする[[局所環]]となる。その[[剰余体]] <math>R_P/PR_P</math> を <math>\kappa(P)</math> などと書くこともある{{sfn|Matsumura|1986|p={{google books quote|id=yJwNrABugDEC|page=23|23}}}}。 ===素因子=== {{main|[[伴う素イデアル]]}} 素イデアル {{math|''P'' ∈ Spec(''R'')}} が {{mvar|R}} 加群 {{mvar|M}} のある元 {{math|''x'' ∈ ''M''}} の[[零化イデアル]] {{math|ann(''x'')}} と一致するとき、{{mvar|P}} を {{mvar|M}} の'''素因子''' ({{lang-en-short|prime divisor}}) または'''伴う素イデアル'''（{{lang-en-short|associated prime ideal}}）という{{sfn|松村|2000|p=47}}{{sfn|Matsumura|1986|p={{google books quote|id=yJwNrABugDEC|page=38|38}}}}。{{mvar|M}} の随伴素因子がなす集合を {{math|Ass<sub>''R''</sub>(''M'')}} あるいは {{math|Ass(''M'')}} と表す。{{math|Ass<sub>''R''</sub>(''M'')}} の（包含関係について）極小な素イデアルを'''孤立素因子'''といい、これら以外の素因子を'''非孤立'''あるいは'''埋め込まれた素因子'''という。{{mvar|R}} が[[ネーター環]]のとき、随伴素因子は[[零因子|非正則元]]や[[加群の台]]とも関連があり、[[準素分解]]で重要な概念である。 ==可換とは限らない環に対して== ===定義=== 単位的環 {{mvar|R}} の[[イデアル]] {{mvar|P}} が'''素イデアル'''であるとは、 :{{math|''P'' ≠ ''R''}} かつ、任意のイデアル {{math|''A'', ''B'' ⊆ ''R''}} に対して、{{math|''AB'' ⊆ ''P''}} ならば {{math|''A'' ⊆ ''P''}} または {{math|''B'' ⊆ ''P''}} を満たすことを言う。 ===性質=== イデアル {{math|''P'' ≠ ''R''}} に対して以下の条件は同値である{{sfn|Lam|2001|loc=Proposition 10.2}}{{sfn|岩永|佐藤|2002|loc=命題7-3-1}}。 * {{mvar|''P''}} は素イデアル * {{math|''a'', ''b'' ∈ ''R''}} に対し、{{math|(''a'')(''b'') ⊆ ''P''}} ならば {{math|''a'' ∈ ''P''}} または {{math|''b'' ∈ ''P''}} （ここで、{{math|(''a'') {{=}} ''RaR''}}） * {{math|''a'', ''b'' ∈ ''R''}} に対し、{{math|''aRb'' ⊆ ''P''}} ならば {{math|''a'' ∈ ''P''}} または {{math|''b'' ∈ ''P''}} * 左イデアル {{math|''A'', ''B''}} に対し、{{math|''AB'' ⊆ ''P''}} ならば {{math|''A'' ⊆ ''P''}} または {{math|''B'' ⊆ ''P''}} * 右イデアル {{math|''A'', ''B''}} に対し、{{math|''AB'' ⊆ ''P''}} ならば {{math|''A'' ⊆ ''P''}} または {{math|''B'' ⊆ ''P''}} * {{math|''R''/''P''}} は[[素環]] 特に[[単純環]]は[[素環]]なので[[極大イデアル]]は素イデアルである。 == 脚注 == {{脚注ヘルプ}} {{reflist|2}} == 参考文献 == * {{Cite book |和書 |last1 = 岩永 |first1 = 恭雄 |last2 = 佐藤 |first2 = 眞久 |year = 2002 |title = [http://www.nippyo.co.jp/book/1984.html 環と加群のホモロジー代数的理論] |edition = 第1版 |publisher = 日本評論社 |isbn = 4-535-78367-5 |ref = harv }} * {{cite book | 和書 | last1=Northcott | first1 = D. G. | title=Northcottイデアル論入門 | translator=新妻弘 | publisher=共立出版 | year=2007 | ref=North(2007) }} * {{cite book|和書| author=ガーレット・バーコフ, ソンダース・マクレーン | title=現代代数学概論 改訂第３版 | year=1967 | publisher=白水社 | ref=BM(1967) }} * {{cite book|last1=Lam |first1=T. Y. |title=A first course in noncommutative rings |series=Graduate Texts in Mathematics|volume=131 |edition=2nd |publisher=Springer-Verlag |place=New York |year=2001 |url=https://books.google.co.jp/books?id=2T5DAAAAQBAJ&lpg=PP1&hl=ja&pg=PA155#v=onepage&q&f=false |isbn=0-387-95183-0 |mr=1838439 | zbl=0980.16001 |ref=harv}} * {{Cite book |和書 |editor = J. デュドネ |year = 2013 |title = 数学史 |volume = I |chapter = 第V章、§V、C) Dedekindと代数的数 |publisher = 岩波書店 |isbn = 4-00-005503-8 |ref = {{sfnref|デュドネ|2013}} }} * {{Cite book |和書 |last1 = 堀田 |first1 = 良之 |author1 = 堀田良之 |year = 2006 |title = 可換環と体 |publisher = 岩波書店 |isbn = 4-00-005198-9 |ref = harv }} * {{Cite book | 和書 | last1 = 松村 | first1 = 英之 | year = 2000 | title = 可換環論 | edition = 復刊 | publisher = 共立出版株式会社 | isbn = 4-320-01658-0 | ref = harv }} ** 英訳：{{cite book |last1 = Matsumura |first1 = Hideyuki |year = 1986 |title = Commutative ring theory |series = Cambridge Studies in Advanced Mathematics |volume = 8 |url = {{google books|yJwNrABugDEC|Commutative ring theory|plainurl=yes}} |publisher = Cambridge University Press |isbn = 0-521-36764-6 |mr = 0879273 |zbl = 0603.13001 |ref = harv }} ==関連項目== *[[環のスペクトル]] *[[局所環]] *[[概型]] *[[代数幾何学]] *[[ヒルベルトの零点定理]] {{DEFAULTSORT:そいてある}} [[category:環論]] [[Category:素イデアル|*]] [[Category:数学に関する記事]]
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