累積的階層のソースを表示

[[数学]]、特に[[集合論]]において、'''累積的階層'''（るいせきてきかいそう、''Cumulative hierarchy''）とは[[順序数]] <math>\alpha</math> で添え字づけられた[[集合]] <math>W_\alpha</math> の族で、以下を満たすものを指す。

* <math>W_\alpha \subseteq W_{\alpha + 1}</math>
* <math>\lambda</math> が[[極限順序数]]のとき、<math display="inline">W_\lambda = \bigcup_{\alpha < \lambda} W_{\alpha}</math>

場合によって、<math>W_{\alpha + 1} \subseteq \mathcal P(W_\alpha)</math> であることや、<math>W_0 \ne \emptyset</math> であることを条件に入れることもある。{{cn|reason=Give an example citation for each additional requirements.|date=June 2019}}

累積的階層をなしている <math display="inline">W = \bigcup_{\alpha \in \mathrm{On}} W_\alpha</math> の和はしばしば集合論のモデルになる。{{cn|date=June 2019}}

単純に"累積的階層"と言った場合、[[フォン・ノイマン宇宙]]の累積的階層 <math>\mathrm{V}_\alpha</math> を指すことが多い。これは <math>\mathrm{V}_{\alpha + 1} = \mathcal P(W_\alpha)</math> で定めるものであり {{harvtxt|Zermelo|1930}} で導入された。

==反映原理==
累積的階層は[[反映原理]]の一形態を次のような形で満たす: 集合論のいかなる[[論理式 (数学)|論理式]]も、それが累積的階層の総和 <math>W</math> で成立するのならば、あるステージ <math>W_\alpha</math> でも成立している。

==例==
* フォンノイマン宇宙は累積的階層 <math>\mathrm{V}_\alpha</math> によって構成される。
* [[構成可能集合|構成可能宇宙]]の <math>\mathrm{L}_\alpha</math> も累積的階層をなしている。
* [[強制法]]によって構成される[[ブール値モデル]]も累積的階層を用いて構成される。
* 何かしらの集合論のモデル ([[正則性公理]]は満たしていないかもしれない) の[[整礎的集合]]全体は累積的階層をなし、その中では正則性公理が成立する。

==参考文献==
* {{cite book | last1=Jech | first1=Thomas | author1-link=Thomas Jech | title=Set Theory | edition=Third Millennium | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Springer Monographs in Mathematics | isbn=978-3-540-44085-7 | year=2003 | zbl=1007.03002 }}
[[Category:集合論]]
* {{cite journal|last1=Zermelo|first1=Ernst|author1-link=Ernst Zermelo|title=Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre|journal=[[Fundamenta Mathematicae]]|volume=16|year=1930|pages=29–47|doi=10.4064/fm-16-1-29-47|url=https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/fundamenta-mathematicae/all/16/0/92877/uber-grenzzahlen-und-mengenbereiche|doi-access=free}}

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[[Category:数学に関する記事]]