累積的階層

数学、特に集合論において、累積的階層（るいせきてきかいそう、Cumulative hierarchy）とは順序数 $\alpha$ で添え字づけられた集合 $W_{\alpha }$ の族で、以下を満たすものを指す。

• $W_{\alpha }\subseteq W_{\alpha +1}$
• $\lambda$ が極限順序数のとき、$W_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }{W}_{\alpha }$

場合によって、$W_{\alpha +1}\subseteq 𝒫(W_{\alpha })$ であることや、$W_0\ne \mathrm{\varnothing }$ であることを条件に入れることもある。テンプレート:Cn

累積的階層をなしている $W=\bigcup _{\alpha \in \mathrm{O}\mathrm{n}}{W}_{\alpha }$ の和はしばしば集合論のモデルになる。テンプレート:Cn

単純に"累積的階層"と言った場合、フォン・ノイマン宇宙の累積的階層 ${\mathrm{V}}_{\alpha }$ を指すことが多い。これは ${\mathrm{V}}_{\alpha +1}=𝒫(W_{\alpha })$ で定めるものであり テンプレート:Harvtxt で導入された。

反映原理

累積的階層は反映原理の一形態を次のような形で満たす: 集合論のいかなる論理式も、それが累積的階層の総和 $W$ で成立するのならば、あるステージ $W_{\alpha }$ でも成立している。

例

• フォンノイマン宇宙は累積的階層 ${\mathrm{V}}_{\alpha }$ によって構成される。
• 構成可能宇宙の ${\mathrm{L}}_{\alpha }$ も累積的階層をなしている。
• 強制法によって構成されるブール値モデルも累積的階層を用いて構成される。
• 何かしらの集合論のモデル (正則性公理は満たしていないかもしれない) の整礎的集合全体は累積的階層をなし、その中では正則性公理が成立する。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal