フォン・ノイマン宇宙
数学の集合論とその周辺分野において、フォン・ノイマン宇宙 テンプレート:Mvar とは、テンプレート:仮リンク整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される[1]。特に、空集合の階数はテンプレート:Mathで、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。テンプレート:Mvar内の集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。
定義
この累積的階層は順序数のクラスによって添え字付けられた集合 テンプレート:Mvar の集まりであり、特に、テンプレート:Mvar は階数 テンプレート:Mvar 未満の集合全てによる集合である。ゆえに各順序数 テンプレート:Mvar に対して集合 テンプレート:Mvar が超限帰納法によって以下のように定義できる:
- テンプレート:Mathは空集合 テンプレート:Math とする。
- 各順序数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の冪集合とする。
- 各極限順序数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvarは、次の和集合とする:
この定義で重要なのは、ZFCのある式 テンプレート:Math で「集合 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に属する」ことを定義できることである。
クラス テンプレート:Mvar は全ての テンプレート:Mvar-階層の和、すなわち:
と定義される。
同じ定義だが、各 テンプレート:Mvar の階層を
と定義できる、ここで は テンプレート:Mvar の冪集合のことである。
集合 テンプレート:Mvar の階数は テンプレート:Math となる最小の テンプレート:Mvar とも言える。
Vと集合論
テンプレート:Mvar を自然数全体の集合とすると、テンプレート:Mvar は遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理の成り立たない集合論モデルである。テンプレート:Math はテンプレート:Langの宇宙であり、ツェルメロ集合論のモデルである。
テンプレート:Mvar が到達不能基数ならば、テンプレート:MvarはZFCのモデルである。そして、テンプレート:Mathはモース-ケリー集合論のモデルである。
テンプレート:Mvar は二つの理由によって、“全ての集合による集合” とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。各階層テンプレート:Mvar がそれぞれ集合でも、その和である テンプレート:Mvar は真のクラスであるからだ。第二に、テンプレート:Mvar の要素は全て整礎集合に限られている。正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合が テンプレート:Mvar に属する。しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である（例えばテンプレート:仮リンク）。このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。