経緯度のソースを表示

'''経緯度'''（けいいど、{{lang-en|longitude and latitude}}）とは、[[経度]]（{{Lang|en|longitude}}）および[[緯度]]（{{Lang|en|latitude}}）を指し、[[地球]]を含む[[天体]]表面上で位置（点）を示すための座標表現である。本稿では[[地理座標系]]で用いられる経緯度を説明する。

基本的に、その[[天体]]の表面点の垂直ベクトルを考え、その向きを[[球面座標]]（[[角度]]）で表現する<ref>[[天体]]が球体であれば、球面上の垂直ベクトルは中心を通るので、地理経緯度は[[地心経緯度]]に等しい。</ref>。
<!--その[[天体]]が球体であれば[[球面座標系]]の角度要素と一致するが、一般に[[回転楕円体]]などであれば、その表面点の垂直ベクトルの球面座標表現に基づく。-->

[[File:Latitude_and_longitude_graticule_on_an_ellipsoid.svg|thumb|170px|経度（<math>\lambda</math>）、緯度（<math>\phi</math>）、および垂直線（赤）。]]
[[File:ECEF_ENU_Longitude_Latitude_right-hand-rule.svg|thumb|250px|ECEF直交座標・地理座標・局所座標の関係（回転楕円体面上）。<math>(X,Y,Z)</math>および[[方位角]]<math>\theta</math>の取り方は[[右手系]]。]]

== 地理経緯度 ==
経緯度は基本的にその地表点の垂直ベクトルに基づき、そのベクトルの方向を[[球面座標]]で[[角度]]表現したものである。
:{経度<math>\lambda</math>、緯度<math>\phi</math>｝⇔｛局所垂直ベクトル<math>(\cos\phi  \cos\lambda,\,\cos\phi \sin\lambda,\,\sin\phi )</math>｝。

地理座標系で用いられる地理経緯度（geographic longitude and latitude）<ref>地理経緯度は測地経緯度、測地学的経緯度（geodetic longitude and latitude）とも呼ばれる。</ref>は、地球を[[回転楕円体]]と見なし、その面の[[法線]]ベクトル方向に基づく<ref>扁長もしくは[[:en:Oblate_spheroidal_coordinates|扁平楕円体座標系]]とは異なる。</ref>。

==経緯度の歴史==
===天文経緯度===
歴史的には、地表の[[鉛直線]]に基づく垂直方向（[[天頂]]）が[[天球]]のどこを指すかによって決めた天文経緯度（astronomical longitude and latitude）が使われてきた。これは地球の重力の鉛直線偏差の影響（加えて地球の[[極運動]]の影響）を被っている。従って、距離・面積との関係も簡素にならない。

===地理経緯度===
地理学・測地学の発展とともに、経緯度原点を国内に設け、その地点の天文経緯度を原点として位置づけ、接する[[準拠楕円体]]に基づく地理経緯度を用いる方式が行われた（地域的[[測地系]]）。

さらに近年は全地球的な[[準拠楕円体]]に基づく方式の採用が増えている（全地球的[[測地系]]）。

== 地理経緯度の変換式 ==
地理座標（経度<math>\lambda</math>、緯度<math>\phi</math>、高度（[[楕円体高]]）<math>h</math>）とECEF直交座標系<math>(x,y,z)</math>との変換、および微小量の式は下記となる（[[地球楕円体]]の[[長半径]]<math>a</math>、[[離心率]]<math>e =\sqrt{f(2-f)}</math>）。

:<math>
 \begin{cases}
x = \left( N(\phi)  + h\right)\cos{\phi}\cos{\lambda} ,\\
y = \left( N(\phi)  + h\right)\cos{\phi}\sin{\lambda} ,\\
z = \left( N(\phi)  (1-e^2) + h\right)\sin{\phi} ,
\end{cases} 
</math>

:<math>
\begin{align}
\begin{pmatrix}
dx \\
dy \\
dz \\
\end{pmatrix}  &= 
\begin{pmatrix}
-\sin \lambda & -\sin \phi \cos \lambda & \cos \phi  \cos \lambda \\
\cos \lambda & -\sin \phi \sin \lambda & \cos \phi \sin \lambda \\
0 & \cos \phi & \sin \phi \\
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
dE \\
dN \\
dU \\
\end{pmatrix} ,
\\
\begin{pmatrix}
dE \\
dN \\
dU \\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
\left(N(\phi)+h\right) \cos \phi & 0 & 0 \\
0 & M(\phi)+h & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d\lambda \\
d\phi \\
dh \\
\end{pmatrix} ,
\\
N(\phi) &\triangleq \frac{a}{\sqrt{1-e^2\sin^2 \phi }}, \\
M(\phi)  &\triangleq \frac{a(1- e^2)}{\left(1-e^2 \sin^2 \phi\right)^{3/2}} = \frac{\{N(\phi)\}^3(1 - e^2)}{a^2} .
\end{align}
</math>

微小量三成分はどれも互いに直交方向となる。<math>h=0</math>では回転楕円体となり、また[[子午線弧]]（[[経線]]弧）の[[曲率半径]]は<math>M(\phi)</math>、[[卯酉線]]弧は<math>N(\phi)</math>（[[緯線]]弧は<math>N(\phi) \cos \phi</math>）となる<ref>[[ムーニエの定理]]も参照。</ref><ref>微分関係式は、<math>\frac{d[N(\phi)\cos\phi]}{d\phi}= -M(\phi)\sin\phi</math></ref>。

<math>(x,y,z)</math>から<math>(\lambda,\,\phi,\,h)</math>を求める変換計算については上記から導かれる <math>\phi</math> の方程式を解く必要がある<ref>解くべき <math>\phi</math> の方程式は
:<math>\begin{align} &\frac{p}{\cos \phi} - \frac{z}{\sin \phi} - e^2 N(\phi) = 0 ,\\
& p = \sqrt{x^2+y^2}\end{align}</math>
で、またこれは変数 <math>\kappa = \frac{p}{z} \tan \phi</math>についての[[方程式]]に帰着できる：
: <math>\kappa - 1 - \frac{e^2 a \kappa}{\sqrt{p^2+(1-e^2) z^2 \kappa^2 }} = 0</math>
解き方は[[:en:Geographic_coordinate_conversion#From_ECEF_to_geodetic_coordinates|Geographic_coordinate_conversion#From_ECEF_to_geodetic_coordinates]]等を参照のこと。また <math>h= e^{-2} (\kappa^{-1} - (1-e^2) ) \sqrt{p^2+ z^2 \kappa^2 } </math>
</ref>。

===回転楕円体面に沿う最短距離の式===
{{main|[[:en:Geographical_distance#Ellipsoidal Earth projected to a plane|地理上の距離（英語版）]]}}

====微小量====
回転楕円体面に沿う最短距離（[[測地線]]距離）<math>s</math> の微小量は上記から得られる（[[微分幾何学]]）。<math>h=0</math>（<math>U=0</math>） の下で、
:<math>d s = \sqrt{dE^2 + dN^2} = \sqrt{\left(N\left(\phi\right) \cos \phi \, d\lambda \right)^2 + \left(M\left(\phi\right) d\phi \right)^2}.</math>

ただし、両極が特異点となる。

====短距離近似式====
二点間[[測地線]]距離<math>\Delta s</math>は、短距離の場合には、簡素な近似形を導出できる。<math>\Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_2, \ \Delta \phi = \phi_1 - \phi_2, </math>
<math>\phi_\textrm{m} = \frac{\phi_1+\phi_2}{2}</math>とおいて、短距離条件は、<math>|\Delta \phi | \ll 1</math>かつ<math>|\cos \phi_\textrm{m} \Delta \lambda | \ll 1</math>と表される。

これに従うと<math>\Delta s</math> の近似式が導出される（誤差は <math>| \Delta s_\text{approx} - \Delta s_\text{true}| \lessapprox \frac{\Delta s^3}{24 a^2}</math>。したがって30kmでは1ppmの精度）。<!--ECEF直交座標式と-->

:<math>
\Delta s = \sqrt{ \left(2 N\left(\phi_\textrm{m}\right) \cos\phi_\textrm{m} \sin \frac{\Delta \lambda}{2}\right)^2 + \left(M\left(\phi_\textrm{m}\right) \Delta \phi \, \cos \frac{\Delta \lambda}{2} \right)^2  }
</math>.

=====平面法=====
中緯度・低緯度限定の簡易な短距離近似計算式として、下記の平面法 (flat-surface method) が普及している<ref>{{Cite web |url=https://edwilliams.org/avform147.htm#flat |title=Aviation Formulary. |last = Williams |first = E. |date = 2013|access-date=2024-06-23}}</ref><ref>日本では「Hubeny の（簡易）式」などと呼ばれることもある（ただしその名称は適切ではない）。</ref>。

:<math>\Delta s = \sqrt{\left(N\left(\phi_\textrm{m}\right) \cos \phi_\textrm{m} \Delta \lambda\right)^2 + \left(M\left(\phi_\textrm{m}\right) \Delta \phi\right)^2}.</math>

導出は、<math>|\Delta \phi | \ll 1</math>かつ<math>|\Delta \lambda | \ll 1</math>と仮定し、<math>|\Delta \lambda |</math>の三角関数を一次近似して得られる。すなわち上記の微小量式を率直に一次式（<math>d</math>→<math>\Delta</math>）と見なすことに相当する。

* しかしながら、この <math>|\Delta \lambda | \ll 1</math> については高緯度（および極近傍）では必ずしも適切な短距離条件とは言えず、それによる三角関数の近似を行ったことから両極に特異性を生じさせるなど難点を持つが<ref>180度経線に対しても特異性を持つが、対処は容易である。</ref>、高緯度（および極近傍）を除けば短距離近似として妥当であり多用される。

=====ガウスの平均緯度法（中間緯度法）=====
二点間測地線計算の短距離条件の球面近似の一種で<ref>したがって「[[球面三角法#haversine 半正矢関数|haversine関数]]を用いる[[大円距離#数式|大円距離計算]]」（円の弦長に基づき弧長を求める）を[[回転楕円体]]（<math>e \neq 0</math>）へ拡張した形となっている。</ref>
、上記よりも近似精度が改善される
（
Rapp (1991)<ref name=rapp91>
{{cite report
|last = Rapp
|first = R, H
|title = Geometric Geodesy, Part I
|date = 1991
|publisher = Ohio Start Univ.
|hdl = 1811/24333
}}</ref> §6.4
）（誤差は <math>| \Delta s_\text{approx} - \Delta s_\text{true}| \lessapprox \frac{\Delta s^3}{400 a^2}</math>。したがって100kmでは1ppmの精度）。
: <math>\Delta s = 2 N\left(\phi_\textrm{m}\right) \arcsin \sqrt{\left(\sin \frac{\Delta \lambda}{2} \cos\phi_\textrm{m} \right)^2 + \left(\cos \frac{\Delta \lambda}{2} \sin \frac{M\left(\phi_\textrm{m}\right) \Delta \phi}{2 N\left(\phi_\textrm{m}\right)} \right)^2}.</math>

さらにより近似精度を改善した計算法も歴史的に多くの研究者によって開発されている（例えば、[[:en:Geographical_distance#Bowring's_method_for_short_lines|Bowring's_method_for_short_lines]]）。また高次の級数計算もしくは反復を含んでいる計算法も多い<ref>例えば「ガウスの平均（中間）緯度法」の式を級数展開したものとして、 Hubeny, K. (1954). Entwicklung der Gauss'schen Mittelbreitenformeln, Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen, Hubeny, K. (1959). Weiterentwicklung der Gauss'schen Mittelbreitenformeln. Zeitschrift für Vermessungswesen.</ref>。

== 経度・緯度を並べる順序 ==
並べる順序には、異なる慣行が存在する。正負については、[[東経]]を正の[[経度]]<math>\lambda</math>、[[北緯]]を正の[[緯度]]<math>\phi</math>、[[南緯]]向きを正の[[余緯度]]とする。

*[[右手系]]では：（[[経度]]、[[緯度]]、及び[[高度]]）の順とする<ref>[[和漢]]の用例でも、この（[[経度]]・[[緯度]]）の順である「経緯度」である（例えば「[[日本経緯度原点]]」、「[[経緯線]]」）。</ref><ref>[[右手系]]の別慣行の変数及び順序は：（[[余緯度]]、[[経度]]、及び[[高度]]）。数学・物理学における[[球面座標系]]の標準はこれに当たる。</ref>。
*これに対して[[左手系]]<ref name="lhs">この[[左手系]]の使用は一般的には非推奨とされている。ただし[[測量]]、[[航海術]]や[[地理学]]などの分野はこの左手系の使用は極めて標準的である。</ref>では：（緯度、経度、及び高度）の順とする。局所座標系（地平面）の <math>x</math> 方向が北・緯度座標、<math>y</math> 方向が東・経度座標となる。<!--変数名は<math>\,(\phi,\,\lambda,\,h)</math>が多く使われる。-->
=== 地図投影法の表式における <math>x,\ y</math> 平面座標の取り方 ===
[[地図学]]における[[地図投影法]]の表式で <math>x,\ y</math> 平面座標の取り方は[[右手系]]で表されることが多い。
*[[右手系]]：<math>x</math>方向を右横方向、<math>y</math>方向を上縦方向
*[[左手系]]：<math>x</math>方向を上縦方向、<math>y</math>方向を右横方向<ref>左手系の別慣行では、<math>x</math>方向を右横方向、<math>y</math>方向を下縦方向にとる。</ref><ref>[[平面直角座標系]]（日本の規格）では左手系である。</ref>

== 方位角との対応関係 ==
{{main|方位角}}
[[方位角]]は上記と対応した関係が存在する：
*[[右手系]]（[[反時計回り]]）：（'''東'''→北→西→南）<ref>[[右手系]]の別慣行では：（'''南'''→東→北→西）</ref>
*[[左手系]]<ref name="lhs" />（[[時計回り]]）：（'''北'''→東→南→西）
方位角を <math>\theta</math>として、局所座標系（地平面）の単位円は <math>(x,y,z)=(\cos\theta,\sin\theta,0)</math> となる。

== 右手系経緯度の採用 ==
下記では右手系経緯度が採用されている。
* [[OpenLayers]]
* [[MapboxGL]]
* [[KML]]
* [[GeoJSON]]
* [[Well-known text]]
* [[MySQL]] 
* [[MongoDB]] 
* [[Redis]]
* [[:en:Oracle_Spatial_and_Graph|Oracle Spatial]]
* [[Solr]]
* [[Elasticsearch]]
* [[Geocouch]]
* [[OSRM]]
=== [[ポリゴン|polygon]]の頂点配列が[[時計周り]]順 ===
右手系経緯度を採用しているもののうち、[[ポリゴン|polygon]]の頂点配列順については[[時計周り]]順（左手系）を採用しているものがある：
* [[シェープファイル|Shapefile]]
* [[ArcGIS]] API for JavaScript
* [[D3.js]]
* [[PostGIS]] 
* [[SpatiaLite]] 
* [[TopoJSON]]
<!--* [[BLQ]]フォーマット（[[海洋荷重潮汐]]）で[[右手系]]の経緯度表現を採用<ref>[http://froste.oso.chalmers.se/loading/ ocean tide loading provider]</ref>-->

=== 左手系経緯度の採用 ===
下記では左手系経緯度（緯度、経度の順）が採用されている。
* [[Leaflet]]
* [[Google Maps]] API
* Apple [[MapKit]]
* [[ArangoDB]]
* [[GeoRSS]]
* [[:en:Open_Geospatial_Consortium|Open Geospatial Consortium]] (OGC)の [[:en:Spatial_reference_system|Spatial Reference System]] (SRS)<ref>OGCによるSRS/CRS の定義では大多数の測地系は axis order を左手系経緯度と定義する。</ref>
<!--* [[OrientDB]]-->

==== 左手系地図投影法の採用 ====
下記では左手系の地図投影法を採用し、平面座標の<math>x</math>軸は右横方向が正、<math>y</math>軸は下縦方向が正としている<ref>他に[[Scalable Vector Graphics|SVG]]フォーマットでは左手系座標が採用されている。</ref>。
* [[:en:Vector_tiles|Mapbox Vector Tiles]]

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==
<!-- {{Commonscat|}} -->
* [[経緯線]]
* [[日本経緯度原点]]
* [[IERS基準子午線]]
* [[地理座標系]]
* [[メルカトル図法]]
* [[平面直角座標系]]（日本の規格。[[左手系]]）
* [[ISO 6709]] (座標の文字列表現の国際標準。原則として[[左手系]]）
* [[国家座標]]
* [[Vincenty法]]

{{Geo-term-stub}}

{{デフォルトソート:けいいと}}
[[Category:地図]]
[[Category:座標]]
[[Category:角度]]

[[zh:經緯度]]