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'''総乗'''（そうじょう）とは、[[二項演算|積]]の定義される[[集合]]における[[演算 (数学)|多項演算]]の一つで、元の列の全ての積のことである。

== 定義 ==
[[結合法則|結合律]]を満たす積 × の定義される集合 ''M'' の元の列 ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, …, ''a{{sub|n}}'' の総乗を
:<math>\prod_{k=1}^n a_k =a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n</math>
などと表す。記号 '''&prod;''' は[[ギリシャ文字]]の[[π|パイ]] (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。

[[有限集合]] ''E'' に対し、''E'' の[[濃度 (数学)|濃度]]を ''n'' とする。このとき、''E'' の元を ''I'' = {1, 2, …, ''n''} で添え字付けて、''E'' の元の全体を「''I'' を添え字集合とする元の列 (''x{{sub|i}}''){{sub|''i''&isin;''I''}} 」とすることができる。この列の総乗を
:<math>\prod E=\prod_{x\in E} x=\prod_{i\in I} x_i =\prod_{k=1}^n x_k</math>
などのように表す。ここで、''E'' の濃度が 0、すなわち、添え字集合 ''I'' が空集合であってもよい。特に、集合 ''M'' が積 × に関する単位元 1{{sub|''M''}} を持つとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1{{sub|''M''}} であるとする。（[[空積]]も参照）
:<math>\prod \emptyset = \prod_{x \in \emptyset} x = 1_M</math>

=== 積が非結合的な場合 ===
積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、''a''{{sub|1}} × ''a''{{sub|2}} × &hellip; × ''a{{sub|n}}'' という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。
*<math>p_1=a_1,</math>
*<math>p_{k+1}=p_k\times a_{k+1}</math>
このとき、<math>p_n=\prod_{k=1}^{n}a_k</math> と書くことにすると、
:<math>\prod_{k=1}^n a_k =(\cdots ((a_1 \times a_2 )\times a_3 )\times \cdots \times a_n)</math>
の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

== 無限乗積 ==
[[総和]]と同様に、[[可算無限集合|可算無限]]列 <math>(x_n)_{n\in \boldsymbol{\mathsf{N}}}</math> の総乗
:<math>\prod_{n=1}^\infty x_n</math>
を定義することができ、'''無限積'''とか'''無限乗積''' (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で[[極限|収束性]]を吟味しなければならない。

=== 定義 ===
[[実数]]や[[複素数]]からなる可算列 <math>(x_n)_{n\in \boldsymbol{\mathsf{N}}}</math> の無限乗積を定義する。無限乗積 <math> \prod_{n = 1}^\infty x_n </math> が'''収束する'''とは2条件
* ある番号 ''m'' から先では常に ''x{{sub|n}}'' &ne; 0 (''n'' > ''m'')<ref>つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。</ref>
* 部分積 ''p{{sub|n}}'' := ''x''{{sub|''m''+1}} &hellip; ''x{{sub|n}}'' (''n'' > ''m'') がゼロでない値 ''P{{sub|m}}'' に ''n'' &rarr; &infin; の極限で[[収束]]する
が成り立つことをいう{{sfn|Konrad|1956|p={{google books quote|id=u4QUAwAAQBAJ|page=93|93}}|loc=Definition 3.7.1}}<ref name="jimbo">[[神保道夫]]、複素関数入門、[[岩波書店]]。</ref>。無限乗積 <math>\textstyle \prod_{n = 1}^\infty x_n </math> が収束するとき、その値を
:<math> \prod_{n = 1}^\infty x_n = x_1 \dotsb x_m P_m </math>
と定める。この値は番号 ''m'' の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、lim{{sub|''n''→∞}} ''x{{sub|n}}'' = 1 が成り立つ{{sfn|Konrad|1956|p={{google books quote|id=u4QUAwAAQBAJ|page=93|93}}|loc=Theorem 3.7.2}}。

また数列 <math>(x_n)_{n\in \boldsymbol{\mathsf{N}}}</math> に対して無限乗積
<math>\textstyle \prod_{n = 1}^\infty (1 + \vert x_n \vert)</math>
が収束するとき、無限乗積 <math>\textstyle \prod_{n = 1}^\infty (1 + x_n)</math> は'''絶対収束'''するという{{sfn|Konrad|1956|p={{google books quote|id=u4QUAwAAQBAJ|page=96|96}}}}<ref name="jimbo"/>。無限乗積 <math>\textstyle \prod_{n = 1}^\infty (1 + x_n)</math> が絶対収束するのは[[無限級数]] <math>\textstyle \sum_{n = 1}^\infty x_n</math> が[[絶対収束]]するとき、かつそのときに限る{{sfn|Konrad|1956|p={{google books quote|id=u4QUAwAAQBAJ|page=96|96}}|loc=Theorem 3.7.6}}<ref name="jimbo"/>。

=== 例 ===
[[三角関数の無限乗積展開]]<ref name="jimbo"/>
:<math>\sin \pi z=\pi z\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-\frac{z^2}{n^2} \right)</math>
:<math>\cos \pi z=\prod_{n=1}^{\infty} \left\{ 1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2} \right\}</math>
:<math>\sinh \pi z=\pi z\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1+\frac{z^2}{n^2} \right)</math>
:<math>\cosh \pi z=\prod_{n=1}^{\infty} \left\{ 1+\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2} \right\}</math>
[[ウォリス積]]<ref>Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Wallis Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html</ref><ref>[http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/WallisProdProof.pdf A proof of the Wallis product formula, Takuya Ooura]</ref>
:<math>\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{\pi}{2}</math>
[[リーマンゼータ函数#オイラー積|オイラー乗積]]
:<math>\zeta (s)=\prod_{p:\text{prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}</math>
[[ガンマ関数]]<ref name="jimbo"/><ref name="toki">時弘哲治、工学における特殊関数、[[共立出版]]。</ref><ref>Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html</ref>
:<math>\frac{1}{\Gamma(z)}:=ze^{{\gamma}z}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{m}\right)e^{-z/m},\quad\gamma:=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log{n}\right)</math>
(<math>\gamma</math>は[[オイラーの定数]]である)<ref name="jimbo"/><ref name="toki"/>。<br/>
<br/>
[[qポッホハマー記号]]
<ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-PochhammerSymbol.html Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol]</ref><ref name="AAR">Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.</ref><ref name="GR">Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.</ref>。
: <math>\begin{align}
&(a;q)_\infty:=\prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^k),\quad |q|<1,\\
&(a;q)_n:=\frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}.\\
\end{align}</math>
[[:en:q-gamma function|qガンマ関数]]<ref name="AAR"/><ref name="GR"/><ref>Weisstein, Eric W. "q-Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/q-GammaFunction.html</ref>
:<math>\Gamma_q(x) := (1-q)^{1-x}\,\frac{(q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty},\quad|q|<1.</math>
[[行列]]を使って[[:en:q-gamma function|qガンマ関数]]を定義することもできる<ref>Salem, A. (2012). On a <math>q</math>-gamma and a <math>q</math>-beta matrix functions. Linear and Multilinear Algebra, 60(6), 683-696.</ref>。

== 注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
    |last1              = Konrad
    |first1             = K.
    |year               = 1956
    |title              = Infinite Sequences and Series
    |url                = {{google books|u4QUAwAAQBAJ|plainurl=yes}}
    |publisher          = Dover
    |mr                 = 79110
    |zbl                = 0070.05807
    |ref                = harv
}}

== 関連項目 ==
*[[総和]]
*[[因数定理]]
*[[階乗]]
*[[超階乗]]

{{DEFAULTSORT:そうしよう}}
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:解析学]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]