線型代数学の基本定理のソースを表示

[[数学]]の分野における'''[[線型代数学]]の基本定理'''（せんけいだいすうがくのきほんていり、{{Lang-en-short|fundamental theorem of linear algebra}}）とは、[[ベクトル空間]]に関するいくつかの定理である。それらの定理においては、ある ''m''&times;''n'' [[行列]] ''A'' の[[行列の階数|階数]] ''r'' や、その[[特異値分解]]

:<math>A=U\Sigma V^T\ </math>

に関する内容が、具体的にまとめられている。はじめに、各行列 <math>A \in \mathbf{R}^{m \times n}</math>（行列 <math> A </math> は <math>m</math> 個の行と <math>n</math> 個の列を持つ）は、「[[線型部分空間|四つの基本部分空間]]」を導く。それらを次の表に示す：

{| class="wikitable"
|-
!部分空間の名前
!定義
!含まれる空間
![[ハメル次元|次元]]
![[基底 (線型代数学)|基底]]
|-
|[[列空間]]、'''値域'''あるいは[[像 (数学)|像]]
|<math>\mathrm{im}(A)</math> あるいは <math>\mathrm{range} (A)</math>
|<math>\mathbf{R}^m</math>
|<math>r</math>（[[行列の階数|階数]]）
|<math>U</math> の初めの <math>r</math> 列
|-
|[[零空間]]あるいは'''核'''
|<math>\mathrm{ker}(A)</math> あるいは <math>\mathrm{null} (A)</math>
|<math>\mathbf{R}^n</math>
|<math>n - r</math>（退化次数）
|<math>V</math> の最後の <math>(n - r)</math> 列
|-
|[[行空間]]あるいは[[余像]]
|<math>\mathrm{im}(A^T)</math> あるいは <math>\mathrm{range} (A^T)</math>
|<math>\mathbf{R}^n</math>
|<math>r</math>（[[行列の階数|階数]]）
|<math>V</math> の初めの <math>r</math> 列
|-
|'''左零空間'''あるいは[[余核]]
|<math>\mathrm{ker}(A^T)</math> あるいは <math>\mathrm{null} (A^T)</math>
|<math>\mathbf{R}^m</math>
|<math>m - r</math>（余階数）
|<math>U</math> の最後の <math>(m - r)</math> 列
|}

続いて、次が成立する：

# <math>\mathbf{R}^n</math> において、<math>\mathrm{ker}(A) = (\mathrm{im}(A^T))^\perp</math> である。すなわち零空間は、行空間の[[直交補空間]]である。
# <math>\mathbf{R}^m</math> において、<math>\mathrm{ker}(A^T) = (\mathrm{im}(A))^\perp</math> である。すなわち左零空間は、列空間の直交補空間である。
[[File:The four subspaces.svg|center|600px|thumb|行列 ''A'' に関する四つの部分空間]]

各部分空間の次元は[[階数・退化次数の定理]]によって関連付けられており、上表の定理に従う。

また、これら全ての空間は、基底の選び方に依らず、本質的に定義される。そのような場合この定理は、抽象的ベクトル空間や作用素および[[双対空間]]として、<math>A\colon V \to W</math> および <math>A^* \colon W^* \to V^*</math> を用いて次のように言い直すことが出来る：<math>A^*</math> の核および像は、<math>A</math> の余核および余像に、それぞれ等しい。

== 関連項目 ==
* [[階数・退化次数の定理]]
* [[閉値域の定理]]

== 参考文献 ==
* [[:en:Gilbert Strang|Strang, Gilbert]]. ''Linear Algebra and Its Applications''. 3rd ed. Orlando: Saunders, 1988.
*{{Citation
| title = The fundamental theorem of linear algebra
| url = http://www.eng.iastate.edu/~julied/classes/CE570/Notes/strangpaper.pdf <!-- if that goes dead try one of these:
http://ocw.nctu.edu.tw/upload/fourier/supplement/fund%20linear%20algebra.pdf
http://www.dm.unibo.it/~regonati/ad0708/strang-FTLA.pdf
-->
| year = 1993
| author = Strang, Gilbert
| journal = American Mathematical Monthly
| volume = 100
| issue = 9
| pages = 848–855
| doi = 10.2307/2324660
| jstor = 2324660
}}

== 外部リンク ==
*{{aut|[[:en:Gilbert Strang|Gilbert Strang]]}}, [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture10.htm MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces] at Google Video, from [[:en:MIT OpenCourseWare|MIT OpenCourseWare]]

{{DEFAULTSORT:たいすうかくのきほんていり}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]