線型無関連のソースを表示

数学において、体 ''k'' のある拡大体 <math>\Omega</math> （例えば{{仮リンク|万有体|en|universal field}}）の中での ''k'' 上の[[体上の多元環|代数]] ''A'', ''B'' は次の同値な条件が成り立つときに '''''k'' 上線型無関連''' (linearly disjoint over ''k'') と言われる：
*(i) <math>(x, y) \mapsto xy</math> から誘導される写像 <math>A \otimes_k B \to AB</math> は単射である。
*(ii) ''A'' の任意の ''k''-基底は ''B'' 上線型独立なままである。
*(iii) <math>u_i, v_j</math> が ''A'', ''B'' の ''k''-基底であれば、積 <math>u_i v_j</math> は ''k'' 上線型独立である。

<math>\Omega</math> のすべての部分代数は整域であるから、(i) ならば <math>A \otimes_k B</math> は整域（特に[[被約環|被約]]）であることに注意する。

また次が成り立つ： ''A'', ''B'' が ''k'' 上線型無関連であることと <math>A, B</math> によってそれぞれ生成される <math>\Omega</math> の部分体が ''k'' 上線型無関連であることは同値である。（cf. [[体のテンソル積]]）

''A'', ''B'' が ''k'' 上線型無関連とする。<math>A' \subset A</math>, <math>B' \subset B</math> が部分代数であれば、<math>A'</math> と <math>B'</math> は ''k'' 上線型無関連である。逆に、代数 ''A'', ''B'' の任意の有限生成部分代数が線型無関連であれば、''A'', ''B'' は線型無関連である（なぜならば条件は元の有限集合しか含まないからである）。

== 関連項目 ==
*[[体のテンソル積]]

== 参考文献 ==
* P.M. Cohn (2003). Basic algebra

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[[Category:代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]