縮小写像のソースを表示

'''縮小写像'''とは、[[距離空間]] ''(M,d)'' における ''M'' から''M'' への[[写像]] ''f'' であり、ある定数 0 < ''k'' < 1 の[[実数]]が存在して

:<math>d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).</math>

という条件が全ての ''x'', ''y'' &isin; ''M'' について成り立つ写像である{{Sfn|荒井|2020|p=119}}。[[完備距離空間]]上の縮小写像は、ただ一つの[[不動点]]を持つ{{Sfn|荒井|2020|p=120}}。この定理は[[縮小写像の原理]]などとして知られる{{Sfn|山口・畑・木上|1993|p=22}}{{Sfn|新井|2023|pp=152&ndash;154}}。さらに、完備距離空間上の縮小写像 ''f'' の[[写像の反復|反復合成]]による点列  ''x'', ''f'' (''x''), ''f'' (''f'' (''x'')), ''f'' (''f'' (''f'' (''x''))), &hellip; はその不動点に収束する{{Sfn|荒井|2020|p=120}}。縮小写像の原理は、[[常微分方程式]]の解の存在と一意性の証明にも使われる{{Sfn|荒井|2020|p=125}}。

縮小写像の ''m'' 個の組 ''f''<sub>1</sub>,  ''f''<sub>2</sub>, &hellip;, ''f<sub>m</sub>'' が与えられたときに、&Ropf;<sup>''d''</sup> 上の全ての[[コンパクト集合]]の[[族 (数学)|族]] ''C'' を[[ハウスドルフ距離]]によって完備距離空間にすると、任意の ''X'' &subset; ''C'' について

:<math> F(X) = f_{1}(X) \cup f_{2}(X) \cup \cdots \cup f_{m}(X)</math>

で定義される写像 ''F'': ''C'' &rarr; ''C'' も縮小写像となる{{Sfn|山口・畑・木上|1993|pp=23&ndash;25}}。''F'' の不動点は ''K'' = ''f''<sub>1</sub>(''K'') &cup; ''f''<sub>2</sub>(''K'') &cup; &hellip; &cup; ''f<sub>m</sub>''(''K'') を満たすコンパクト集合として拡張され、[[自己相似集合]]と呼ばれる{{Sfn|山口・畑・木上|1993|p=22}}。したがって、どのコンパクト集合 ''X'' から出発しても、縮小写像の組 ''f''<sub>1</sub>,  ''f''<sub>2</sub>, &hellip;, ''f<sub>m</sub>'' はただ一つの自己相似集合を持ち、さらに ''F'' の反復合成による列  ''X'', ''F'' (''X''), ''F'' (''F'' (''X'')), ''F'' (''F'' (''F'' (''X''))), &hellip; はその自己相似集合に収束する{{Sfn|山口・畑・木上|1993|p=25}}{{Sfn|新井|2023|p=319}}。

==出典==
{{Reflist|2}}

==参考文献==
*{{Cite book ja-jp 
|author = 荒井 迅
|title = 常微分方程式の解法
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10003676.html
|series = 共立講座 数学探検 15
|publisher = 共立出版
|edition= 初版 
|year = 2020
|isbn = 978-4-320-11188-2
|ref = {{SfnRef|荒井|2020}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author =  山口 昌哉・畑 政義・木上 淳
|title = フラクタルの数理
|series = 岩波講座 応用数学1 [対象7]
|url = https://www.iwanami.co.jp/book/b480065.html
|publisher = 岩波書店
|edition= 初版 
|year = 1993
|isbn = 4-00-010511-6
|ref = {{SfnRef|山口・畑・木上|1993}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author =  新井 仁之
|title = ルベーグ積分講義 ―ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち―
|url = https://nippyo.co.jp/shop/book/9057.html
|publisher = 日本評論社
|edition= 改訂版
|year = 2023
|isbn = 978-4-535-78945-6
|ref = {{SfnRef|新井|2023}}
}}

{{DEFAULTSORT:しゆうしゆくしやそう}}

[[Category:幾何学]]
[[Category:力学系]]
[[Category:不動点]]
[[Category:順序構造]]
[[Category:数学に関する記事]]