置換の符号のソースを表示

[[画像:Symmetric group 4; permutation list.svg|thumb|[[画像:Loupe light.svg|15px|http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Symmetric_group_4%3B_permutation_list_with_matrices.svg/1000px-Symmetric_group_4%3B_permutation_list_with_matrices.svg.png]] Permutations of 4 elements<br><br>Odd permutations have a green or orange background. The numbers in the right column are the [[Inversion (discrete mathematics)|inversion]] numbers {{OEIS|A034968}}, which have the same parity as the permutation.]]
[[数学]]において、少なくとも二元を含む[[有限集合]] {{mvar|''X''}} の[[置換 (数学)|置換]]（{{mvar|X}} から {{mvar|X}} への[[全単射]]）は大きく二つのクラス（'''偶置換'''と'''奇置換'''）に分けられる。{{mvar|X}} の任意の[[全順序]]を固定して、{{mvar|X}} の置換 {{mvar|σ}} の'''偶奇性'''（パリティ; 対性）は {{mvar|σ}} の[[転倒数]]、すなわち {{mvar|X}} の元の対 {{math2|(''x'', ''y'')}} で {{math2|''x'' < ''y''}} かつ {{math2|''σ''(''x'') > ''σ''(''y'')}} なるものの数、の偶奇性によって定義することができる。

置換 {{mvar|σ}} の'''符号''' (''sign'') あるいは'''符号数''' (''signature'') {{math|'''sgn(''σ'')'''}} は、{{mvar|σ}} が偶置換ならば {{math|+1}}, 奇置換ならば {{math|&minus;1}} を割り当てる。置換の符号函数 {{math|sgn}} は[[対称群]] {{mvar|S{{msub|n}}}} の'''交代指標'''と呼ばれる[[指標 (数学)|群指標]]を定義する。置換の符号に対する別の記法として、より一般の[[レヴィ&ndash;チヴィタ記号]]によって与えられる {{mvar|ε{{msub|σ}}}} がある。これは {{mvar|X}} から {{mvar|X}} への全単射とは限らない任意の写像に対して定義され、全単射でない写像に対しては {{math|0}} を割り当てる。

置換の符号は {{math|inv(''σ'')}} を {{mvar|σ}} の[[転倒数]]とすれば
: {{math|1=sgn(''σ'') = (−1){{sup|inv(''σ'')}}}}
と明示的に書くことができる。（転倒数は置換 {{mvar|&sigma;}} を積として表すのに必要となる[[対称群#互換|隣接互換]]の最小数とも一致する。）

あるいは、置換の符号を置換の[[互換 (数学)|互換]]の積への分解によって定義することもできる。すなわち、置換 {{mvar|σ}} の互換の積への分解に現れる互換の数を {{mvar|m}} とするとき、
: {{math|1=sgn(''σ'') = (−1){{exp|''m''}}}}<!-- do not use <math> here. See [[phab:T3594]] -->
とおくのである。置換のこのような互換の積への分解は一意ではないけれども、分解に現れる互換の総数の偶奇は置換ごとに一定しているので、この方法で置換の符号は[[well-defined|矛盾なく定まる]]<ref name="Jacobson">Jacobson (2009), p.50.</ref>。

さらに置換 {{math|''&sigma;'' &isin; ''S''{{sub|''n''}}}} の符号を定義する他の方法としては[[差積]] {{math|''&Delta;''(''x''{{sub|1}}, &hellip;, ''x''{{sub|''n''}})}} への自然な[[群作用|作用]]を介して
: <math> \sgn(\sigma) = \frac{\prod_{i < j} x_{\sigma(i)} - x_{\sigma(j)}}{\prod_{i < j} x_i - x_j} </math>
によって定義することもできる。類似した符号の表示としては
: <math> \sgn(\sigma) = \frac{\prod_{i < j} \sigma(i) - \sigma(j)}{\prod_{i < j} i - j} </math>
もある<ref>{{cite book
|和書
|title = 群論の味わい
|last = Joyner
|first = David
|year = 2010
|publisher = [[共立出版]]
|isbn = 978-4-320-01941-6
|page = 50
}}</ref>。

（実際に置換 {{math|''&sigma;'' &isin; ''S''{{sub|''n''}}}} の符号 {{math|sgn(''&sigma;'')}} を得るには、{{mvar|&sigma;}} が互いに素な {{mvar|q}} 個の[[巡回置換]]の積へ分解されているとき、 {{math|(&minus;1){{sup|''n'' &minus; ''q''}}}} を計算するのが効率的である<ref>{{cite book
|title = Combinatorial Algorithms: For Computers and Calculators
|edition = Second
|last1 = Nijenhuis
|first1 = Albert
|last2 = Wilf
|first2 = Herbert S.
|year = 1978
|publisher = Academic Press
|isbn = 0-12-519260-6
|page = 144
}}</ref>。ここで {{math|''n'' &minus; ''q''}} は置換 {{mvar|&sigma;}} を積として表すのに必要となる[[対称群#互換|互換]]の最小数と一致する<ref>{{SpringerEOM | title=Permutation of a set | urlname=Permutation_of_a_set }}</ref>。）

== 一般化 ==
置換の偶奇性の概念は[[コクセター群]]に対するものへ一般化することができる。対称群の場合に、各置換を{{仮リンク|隣接互換|en|adjacent transposition}}の積に書いたように、コクセター群の各元 {{mvar|v}} を（選択した）生成元の積に表したときに、その積に現れる元の個数の最小値によって{{仮リンク|長さ函数|en|length function}} {{math|''l''(''v'')}} を定義すれば、一般化された符号函数は {{math2|''v'' {{mapsto}} (&minus;1){{exp|''l''(''v'')}}}} として与えられる。

== 関連項目 ==
* [[15パズル]]：古典的応用（ただし実際上は{{仮リンク|亜群|en|groupoid}}に関する話題）
* [[:en:Zolotarev's lemma]]
* [[行列式]]：<math>\det A = \textstyle\sum\limits_{\sigma \in S_n} \left( \sgn \sigma \prod\limits_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} \right)</math>

== 注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{MathWorld|urlname=EvenPermutation|title=Even Permutation}}
* {{Cite book |last=Jacobson |first=Nathan |authorlink=Nathan Jacobson |year=2009 |title=Basic algebra| edition=2nd |volume=1 |publisher=Dover |isbn=978-0-486-47189-1 |postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}
* {{Cite book |last=Rotman |first=J.J. |title=An introduction to the theory of groups |series=Graduate texts in mathematics |year=1995 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-0-387-94285-8}}
* {{Cite book |last=Goodman |first=Frederick M. |title=Algebra: Abstract and Concrete |publisher= |isbn=978-0-9799142-0-1}}
* {{Cite book |last1=Meijer |first1=Paul Herman Ernst |last2=Bauer |first2=Edmond |title=Group theory: the application to quantum mechanics |series=Dover classics of science and mathematics |year=2004 |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-43798-9}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1319|差積の意味と置換の符号が定義できることの証明}}
* {{SpringerEOM | title=Signature (permutation) | urlname=Signature_(permutation) }}

{{DEFAULTSORT:ちかんのふこう}}
[[Category:群論]]
[[Category:置換]]
[[Category:偶奇性]]
<!--[[Category:Articles containing proofs]]-->
[[Category:数学に関する記事]]