群の位数に関する積の法則のソースを表示

{{about|群論|その他の「積の法則」|積の法則}}
[[数学]]の[[群論]]における'''積の法則'''（せきのほうそく、{{lang-en-short|''product formula''}}, {{lang-fr-short|''formule du produit''}}{{efn2|代数的整数論における formule du produit は特に[[積公式]] と呼ばれるので混同の虞は無いと思われる。}}; 積の公式）は、任意に与えられた二つの部分群およびそれらから作られる{{ill2|部分群の積|en|Product of group subsets#Product of subgroups|label=積}}および交叉という四つの集合{{efn2|これらの中で、積（[[元ごとの積|元ごと]]に積をとって得られる集合）だけが必ずしも部分群をなさない（いずれか一方の部分群が[[正規部分群]]ならば群になる）。他は常に部分群である。}}の[[位数 (群論)|位数]]（集合の[[濃度 (数学)|濃度]]）の関係を記述するものである。

[[File:Diagram for the First Isomorphism Theorem.png|thumb|第二同型定理 {{math|''SN/N'' &cong; ''S''/(''S'' &cap; ''N'')}} を表す平行四辺形図式: {{mvar|S}} が部分群、{{mvar|N}} が[[正規部分群]]ならば、積 {{mvar|SK}} と交叉 {{math|''S'' &cap; ''N''}} はともに部分群となり、[[準同型定理]]から所期の同型が導かれる（位数についてみれば、積の法則の成立がわかる）。{{efn2|積の法則は。一般にこの {{mvar|N}} の正規性を落としてもよいことを含意するが、正規性が無い場合部分群の積は部分群にならず、したがって準同型定理（あるいは同型定理）の適用はできないので、証明はもう少し丁寧に見る必要がある。}}]]
== 定理の主張 ==
{{seealso|第二同型定理|{{ill2|部分群の積|en|Product of group subsets#Product of subgroups}}}}
{{mvar|H, K}} は群 {{mvar|G}} の部分群とし、{{ill2|部分群の積|en|Product of group subsets#Product of subgroups}} {{mvar|HK}} は {{math|''hk'' (''h'' ∈ ''H'', ''k'' ∈ ''K'')}} の形の {{mvar|G}} の元全体の成す集合を表す。また {{mvar|H}}, {{mvar|K}}, {{mvar|''H'' ∩ ''K''}} の[[位数 (群論)|位数]]をそれぞれ {{math2|{{abs|''H''}}, {{abs|''K''}}, {{abs|''H'' ∩ ''K''}}}} とするとき、これらと {{mvar|HK}} の位数 {{mvar|HK}} との間に、'''積の法則'''と呼ばれる関係式 <math display="block">\mathopen|HK\mathclose|\cdot\mathopen|H \cap K\mathclose| = \mathopen|H\mathclose|\cdot\mathopen|K\mathclose|\qquad (\iff\mathopen|HK\mathclose|/\mathopen|K\mathclose| = \mathopen|H\mathclose|/\mathopen|H\cap K\mathclose|)</math>が成り立つ{{sfn|Rotman|1995|p= {{google books quote|id=lYrsiaHSHKcC|pg=PA30|30}}}}。

初等的な数え上げ問題として、[[羊飼いの補題]] ({{fr|lemme des bergers}}) に基づく証明を以下のように与えることができる:
{{math proof|section=yes|drop=no|continue=
写像 <math display="block">f\colon H \times K \to HK;\; (h,k) \mapsto hk</math> を考える。{{mvar|y}} を {{mvar|HK}} の元とすれば、{{mvar|y}} は適当な {{math|''h'' ∈ ''H'', ''k'' ∈ ''K''}} を用いて {{math|1=''y'' = ''hk''}} の形をしている。{{math|1=''f''(''h&prime;'', ''k&prime;'') = ''y''}} を満たす {{math|(''h&prime;'', ''k&prime;'') ∈ ''H'' × ''K''}} の全体からなる集合の位数を計算しよう。まず、そのような {{math|(''h&prime;'', ''k&prime;'') ∈ ''H'' × ''K''}} は {{math|1= ''h&prime;k&prime;'' = ''hk''}}({{math|1= = ''y''}}) を満たすから、変形して {{math|1=''h''{{exp|&minus;1}}''h&prime;'' = ''kk&prime;''{{exp|&minus;1}}}} となることに注意する。したがって適当な {{math|''i'' ∈ ''H'' &cap; ''K''}} が存在して（なんとなれば {{math|1= ''i'' = ''h''{{exp|&minus;1}}''h&prime;''}} と書けば）{{math|1=''h&prime;'' = ''hi''}} かつ {{math|1=''k&prime;'' = ''i''{{exp|&minus;1}}''k''}} となる。これにより、{{math|1=''f''(''h&prime;'', ''k&prime;'') = ''y''}} を満たす {{math|(''h&prime;'', ''k&prime;'') ∈ ''H'' × ''K''}} が {{math|(''hi'', ''i''{{exp|&minus;1}}''k'')  (''i'' ∈ ''H'' ∩ ''K'')}} の形に書ける {{math|''H'' × ''K''}} の元にほかならないことは容易に確かめられ、そのような元全体の成す集合の位数が {{math|{{abs|''H'' ∩ ''K''}}}} であることが分かる。}}

{{math|''H'' × ''K''}} の {{mvar|G}} への作用を、各対 {{math|(''h'',''k'')}} は {{mvar|h}} を左から、{{math|''k''{{exp|-1}}}} を右から掛けるものとして定めれば、この作用に関する単位元の[[群作用|軌道]]に対する
[[群作用#軌道と等方部分群|軌道&ndash;固定群の関係式]]あるいは[[バーンサイドの補題]]の応用として所期の積の法則を得ることもできる。

== 一般化 ==
任意の {{math|''g'' ∈ ''G''}} に対し、その属する{{ill2|両側剰余類|en|Double coset}}を {{mvar|HgK}} と書く（これはすなわち、{{math|''hgk'' (''h'' ∈ ''H'', ''k'' ∈ ''K'')}} の形の元全体の成す集合である）とき、関係式<math display="block">
  \mathopen|H\cap(gKg^{-1})\mathclose|\cdot\mathopen|HgK\mathclose|
 =\mathopen|H\mathclose|\cdot\mathopen|K\mathclose|
 =\mathopen|HgK\mathclose|\cdot\mathopen|(g^{-1}Hg)\cap K\mathclose|
</math>が成立する{{efn2|この第二の式は特に {{mvar|H, K}} が有限群であるという仮定の下で述べている。これは {{harv|Isaacs|2008|p= {{google books quote|id=pCLhYaMUg8IC|pg=PA6|6}}}} に練習問題として出ている。またこれら両側剰余類は、{{math|''H'' × ''K''}} の {{mvar|G}} への右作用（これは上で述べた両側作用にほかならない）の軌道と同じ働きを表している{{sfn|Isaacs|2008|p= {{google books quote|id=pCLhYaMUg8IC|pg=PA304|304}}}}。}}。無限群の場合は、[[部分群の指数]]を用いて、より強い形の <math display="block">
  [H:H\cap (gKg^{-1})]\cdot\mathopen|K\mathclose|
 =\mathopen|HgK\mathclose|
 =\mathopen|H\mathclose|\cdot[K:(g^{-1}Hg)\cap K]
</math>が成り立つ{{efn2|この式の第一の等号は、写像 <math display="block">
  H/\mathopen(H\cap(gKg^{-1})\mathclose)\to\{hgK\mid h\in H\};\; x=h\mathopen(H\cap(gKg^{-1})\mathclose)\mapsto xgK=hgK</math> が[[全単射]]であることにより、{{mvar|HgK}} が {{mvar|K}} に[[集合の対等性|等濃]]な成分 {{math|{{bracket|''H'' : ''H'' ∩ ''gKg''{{exp|–1}}}}}} 個に[[集合の分割|分割]]されることから言える。第二の等号も同様にしてできるが、対称性により第一の等号に帰着してもよい。}}。

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist}}
== 参考文献 ==
* {{citation|first=J. J. |last=Rotman |title= An Introduction to the Theory of Groups|publisher= Springer|edition= 4|year= 1995 |isbn=9780387942858|ref=harv}}
* {{citation|first=I. Martin |last= Isaacs |title= Finite group theory |publisher= AMS Bookstore|year= 2008 |isbn= 9780821843444|ref=harv}}

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