群の位数に関する積の法則

テンプレート:About 数学の群論における積の法則（せきのほうそく、テンプレート:Lang-en-short, テンプレート:Lang-fr-shortテンプレート:Efn2; 積の公式）は、任意に与えられた二つの部分群およびそれらから作られるテンプレート:Ill2および交叉という四つの集合テンプレート:Efn2の位数（集合の濃度）の関係を記述するものである。

第二同型定理 テンプレート:Math を表す平行四辺形図式: テンプレート:Mvar が部分群、テンプレート:Mvar が正規部分群ならば、積 テンプレート:Mvar と交叉 テンプレート:Math はともに部分群となり、準同型定理から所期の同型が導かれる（位数についてみれば、積の法則の成立がわかる）。テンプレート:Efn2

定理の主張

テンプレート:Seealso テンプレート:Mvar は群 テンプレート:Mvar の部分群とし、テンプレート:Ill2 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の形の テンプレート:Mvar の元全体の成す集合を表す。また テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の位数をそれぞれ テンプレート:Math2 とするとき、これらと テンプレート:Mvar の位数 テンプレート:Mvar との間に、積の法則と呼ばれる関係式 $$|HK|\cdot |H\cap K|=|H|\cdot |K|(⟺|HK|/|K|=|H|/|H\cap K|)$$が成り立つテンプレート:Sfn。

初等的な数え上げ問題として、羊飼いの補題 (テンプレート:Fr) に基づく証明を以下のように与えることができる: テンプレート:Math proof

テンプレート:Math の テンプレート:Mvar への作用を、各対 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を左から、テンプレート:Math を右から掛けるものとして定めれば、この作用に関する単位元の軌道に対する 軌道–固定群の関係式あるいはバーンサイドの補題の応用として所期の積の法則を得ることもできる。

一般化

任意の テンプレート:Math に対し、その属するテンプレート:Ill2を テンプレート:Mvar と書く（これはすなわち、テンプレート:Math の形の元全体の成す集合である）とき、関係式$$|H\cap (gK{g}^{-1})|\cdot |HgK|=|H|\cdot |K|=|HgK|\cdot |(g^{-1}Hg)\cap K|$$が成立するテンプレート:Efn2。無限群の場合は、部分群の指数を用いて、より強い形の $$[H:H\cap (gK{g}^{-1})]\cdot |K|=|HgK|=|H|\cdot [K:(g^{-1}Hg)\cap K]$$が成り立つテンプレート:Efn2。

参考文献

• テンプレート:Citation
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