群の直積のソースを表示

[[数学]]、特に[[群論]]において、与えられたいくつかの[[群 (数学)|群]]の'''直積'''（ちょくせき、{{lang-en-short|direct product}}）は、それらを[[正規部分群]]として含むような新しい群を作る構成法である。

==定義==
===2つの群の直積===
[[群 (数学)|群]] <math display="inline">G</math>、<math display="inline">H</math>が与えられたとき、その集合としての[[直積集合|直積]] <math display="inline">G \times H</math> に、
:<math>(g,h)(g',h')=(gg',hh')\qquad\text{for}\;\; g,g'\in G,\,h,h'\in H</math>
として演算を定義すると、 <math display="inline">G \times H</math> は群になる。これを <math display="inline">G</math> と <math display="inline">H</math> の'''直積'''という。

===有限個の群の直積===
同様に、有限個の群 <math display="inline">G_1, G_2, \dots, G_n</math> が与えられたとき、その直積集合の元
:<math>(g_1,g_2,\dots,g_n),\,(g'_1,g'_2,\dots,g'_n)\in\prod_{i=1}^nG_i</math>
に対して
:<math>(g_1,g_2,\dots,g_n)(g'_1,g'_2,\dots,g'_n)=(g_1g'_1,g_2g'_2,\dots,g_ng'_n)</math>
と定義すると、<math display="inline">\Pi_i G_i</math> は群になり、これを <math display="inline">G_1, G_2, \dots, G_n</math>の'''直積'''と言う。

===任意個の群の直積===
一般に、群の族 <math display="inline">\{G_i\}_{i \in I}</math> が与えられると、その直積集合の元 <math display="inline">(g_i)</math>，<math display="inline">(g^\prime_i)</math> に対して、<math display="block">(g_i) (g^\prime_i) = (g_i g^\prime_i)</math>によって演算を定義したものが群 <math>\{G_i\}</math> の直積である。
==例==
{{unordered list
|実数全体の集合 {{math|'''R'''}} を加法に関する群とみなすと、その直積 {{math|'''R''' × '''R'''}} はベクトル {{math|(''x'', ''y'')}} を要素に持ち、直積としての加法
:{{math|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) + (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) &nbsp;{{=}}&nbsp; (''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>1</sub> + ''y''<sub>2</sub>)}}
は平面幾何ベクトルとしての加法になっている。
|{{math|''G''}} と {{math|''H''}} を位数2の巡回群とし、それぞれの乗算表が
{{columns|width=auto
 | col1 = {{aligned table
  | title = {{math|''G''}}
  | class=wikitable
  | style=text-align:center; width:90px; height:90px;
  | cols=3
  | row1header=y | col1header=y
  | ∙              | {{math|1}}     | {{math|''a''}}
  | {{math|1}}     | {{math|1}}     | {{math|''a''}}
  | {{math|''a''}} | {{math|''a''}} | {{math|1}}
 }}
 | col2 = {{aligned table
  | title = {{math|''H''}}
  | class=wikitable
  | style=text-align:center; width:90px; height:90px;
  | cols=3
  | row1header=y | col1header=y
  | ∙              | {{math|1}}     | {{math|''b''}}
  | {{math|1}}     | {{math|1}}     | {{math|''b''}}
  | {{math|''b''}} | {{math|''b''}} | {{math|1}}
 }}
}}
であるならば、直積 {{math|''G'' × ''H''}} は以下の乗算表を持ち、[[クラインの四元群]]に同型である。
{{aligned table
 | title = {{math|''G'' × ''H''}}
 | class=wikitable
 | style=text-align:center; width:250px; height:175px;
 | cols=5
 | row1header=y | col1header=y
 | ∙                       | {{math|(1, 1)}}         | {{math|(''a'', 1)}}     | {{math|(1, ''b'')}}     | {{math|(''a'', ''b'')}}
 | {{math|(1, 1)}}         | {{math|(1, 1)}}         | {{math|(''a'', 1)}}     | {{math|(1, ''b'')}}     | {{math|(''a'', ''b'')}}
 | {{math|(''a'', 1)}}     | {{math|(''a'', 1)}}     | {{math|(1, 1)}}         | {{math|(''a'', ''b'')}} | {{math|(1, ''b'')}}
 | {{math|(1, ''b'')}}     | {{math|(1, ''b'')}}     | {{math|(''a'', ''b'')}} | {{math|(1, 1)}}         | {{math|(''a'', 1)}}
 | {{math|(''a'', ''b'')}} | {{math|(''a'', ''b'')}} | {{math|(1, ''b'')}}     | {{math|(''a'', 1)}}     | {{math|(1, 1)}}
}}
|非零の実数全体が乗法についてなす[[単元群]] {{math|'''R'''{{sup|&times;}}}} は正の実数全体からなる[[部分群の指数|指数]] {{math|2}} の部分群 {{math|'''R'''{{su|p=&times;|b=>0}}}} と[[群の位数|位数]] {{math|2}} の部分群 {{math|{{mset|&pm;1}}}} をもち、これらの直積と同型である。
}}

==性質==
{{節スタブ}}

=== 直積因子 ===
群 <math>G</math> と <math>H</math> の直積 <math>G \times H</math> は、<math>\{(g, 1_H) \mid g \in G \}</math> と <math>\{(1_G, h) \mid h \in H \}</math> を[[正規部分群]]として含む（ただし <math>1_G,\ 1_H</math> はそれぞれの[[単位元]]）。これらはそれぞれ ''G'', ''H'' と[[群同型|同型]]である。

==== 証明 ====
<math>g \in G,\ (g^\prime, h^\prime) \in G \times H</math> とすると，次の等式が成り立つ。<math display="block">(g^\prime, h^\prime)(g, 1_H)(g^\prime, h^\prime)^{-1} = (g^\prime g {g^\prime}^{-1}, 1_H)</math><math>h \in H</math> についても同様である。よって，主張が従う<ref>雪江 2010, p.60</ref>．

=== 可換性 ===
群の直積 <math>G \times H</math> において群 <math>G</math> の任意の元と群 <math>H</math> との任意の元は可換である。

==== 証明 ====
<math>g \in G,\ h \in H</math> とすると，次が成り立つ。<math display="block">(g, h) = (g, 1_H)(1_G, h) = (1_G, h)(g, 1_H)</math>したがって，主張が従う<ref>雪江 2010, p.60</ref>．

=== その他 ===

*群 ''G'', ''H'', ''K'' に対し、次の同型が成り立つ。<math display="block">(G\times H)\times K\cong G\times(H\times K)\cong G\times H\times K</math>
*（'''[[普遍性]]'''）群 ''G''<sub>''i''</sub> (''i'' &isin; ''I'') が与えられているとする。π<sub>''j''</sub> : Π<sub>''i'' &isin; ''I''</sub> ''G''<sub>''i''</sub> &rarr; ''G''<sub>''j''</sub> (''j'' &isin; ''I'')  を自然な射影とする。このとき任意の群 ''H'' と任意の[[群準同型|群準同型写像]] ''f''<sub>''j''</sub> : ''H'' &rarr; ''G''<sub>''j''</sub> (''j'' &isin; ''I'')  に対して、一意的な準同型 φ : ''H'' &rarr; Π<sub>''i'' &isin; ''I''</sub> ''G''<sub>''i''</sub> が存在して、''f''<sub>''j''</sub> = π<sub>''j''</sub>∘φ  (''j'' &isin; ''I'') が成り立つ。つまり群の直積は群のなす[[圏 (数学)|圏]]の[[積 (圏論)|直積]]である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==参考文献==
{{参照方法|date=2017年7月|section=1}}

*{{Cite book|和書|author=雪江明彦|title=代数学|volume=1|publisher=日本評論社|year=2010|isbn=978-4-535-78659-2|oclc=836343697|ref=雪江 2010}}
*森田康夫『代数概論』、数学選書9（第12版）、裳華房、ISBN 978-4-7853-1311-1
*Serge Lang, ''Algebra'', GTM '''211''' (Rev. 3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-95385-4

== 関連項目 ==
*[[積 (圏論)]]
*[[半直積]]

{{abstract-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:くんのちよくせき}}
[[Category:群論]]
[[Category:抽象代数学]]
[[Category:圏論]]
[[Category:数学に関する記事]]