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数学において、'''群の表現'''（ぐんのひょうげん、{{lang-en-short|group representation}}）とは、抽象的な[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} の[[元 (数学)|元]] {{mvar|g}} に対して具体的な[[線形空間]] {{mvar|V}} の[[正則行列|正則]]な[[線形変換]]としての実現を与える[[準同型写像]] {{math|''&pi;'': ''G'' &rarr; [[一般線型群|GL]](''V'')}} のことである。線型空間 {{mvar|V}} の[[基底 (線型代数学)|基底]]を取ることにより、{{math|''&pi;''(''g'')}} をより具体的な[[正則行列]]として表すことができる。

== 定義 ==

=== 群の表現 ===
群 {{mvar|G}} の各[[元 (数学)|元]] {{mvar|g}} に対して[[線形空間]] {{mvar|V}} 上の[[線形変換]] {{math|''T''(''g'')}} が対応し、
:<math>T(gh)=T(g)T(h)</math>
が成り立つとき、{{mvar|g}} を {{math|''T''(''g'')}} に対応させる[[写像]] {{math|''T'': ''G'' &rarr; [[一般線形群|GL]](''V'')}} を群 {{mvar|G}} の線形空間 {{mvar|V}} 上の'''表現'''といい、線形空間 {{mvar|V}} を群 {{mvar|G}} の'''表現空間'''という。すなわち群 {{mvar|G}} の表現とは「群 {{mvar|G}} から線形空間 {{mvar|V}} 上の[[一般線形群|正則な線形変換のつくる群]]への[[準同型写像]]」のことである。

{{math|''v'' &isin; ''V'', ''g'' &isin; ''G''}} に対して {{math|''T''(''g'')''v''}} のことを単に {{math|''g'' &sdot; ''v''}} あるいは {{mvar|gv}} と表すことが多い。

表現空間は[[群上の加群]]と見ることもできる。このとき表現空間は[[群環]] {{math|'''C'''G}} 上'''表現加群'''と呼ばれ、このことを強調するために {{math|''V''<sub>'''C'''''G''</sub>}} と表すこともある。

=== 表現行列 ===
表現空間を明示したいときは組 {{math|(''V'', ''T'')}} で表現を表す。表現空間 {{mvar|V}} の[[ハメル次元|次元]] {{mvar|n}} を'''表現の次元'''という。表現空間 {{mvar|V}} に適当な[[基底 (線型代数学)|基底]]を導入すれば、{{math|''T''(''g'')}} は具体的に {{mvar|n}} 次[[正方行列]]で書き表せるから、群 {{mvar|G}} の表現とは「{{mvar|G}}から[[正則行列]]の成す群 [[一般線型群|{{math|GL<sub>''n''</sub>}}]] への[[準同型写像]]である」といってもよい。このとき行列 {{math|''T''(''g'')}} を {{mvar|g}} の'''表現行列'''と呼ぶ。

つまり群 {{mvar|G}} に対応して行列の集合 <math>\Gamma = \{\, T(g) \mid g \in G \,\}</math> があり、任意の群の元 {{math|''g'', ''h''}} に対して {{math|''T''(''gh'') {{=}} ''T''(''g'')''T''(''h'')}} が成り立つとき、これらの行列を群 {{mvar|G}} の表現行列という。

=== 同値な表現 ===
群 {{mvar|G}} の2つの表現 {{math|(''T''<sub>1</sub>, ''V'')}} と {{math|(''T''<sub>2</sub>, ''W'')}} が与えられたとき、ある線型同型 {{math|''S'': ''V'' &rarr; ''W''}} が存在して、すべての元 {{mvar|g}} に対して[[相似変換]]
:<math>ST_1(g)S^{-1}=T_2(g)</math>
で繋がるならば、表現 {{math|''T''<sub>1</sub>}} と {{math|''T''<sub>2</sub>}} は'''同値'''あるいは'''同型'''であるといい、両者は本質的には同じ表現である。この条件はすべての元 {{mvar|g}} に対して次の図式が可換であるといってもよい。
:<math>\begin{array}{ccc}
 V                          & \stackrel{T_1(g)}{\longrightarrow} & V                          \\
 {\scriptstyle S}\downarrow &                                    & \downarrow {\scriptstyle S}\\
 W                          & \stackrel{T_2(g)}{\longrightarrow} & W
\end{array}</math>
なお、一般に、全単射とは限らないこのような変換を{{仮リンク|絡作用素|en|Equivariant map}}という。

== 特別な表現 ==

=== 恒等表現・忠実表現 ===
{{main|{{仮リンク|自明表現|en|Trivial representation}}|忠実表現}}
対応 {{math|''g'' &#8614; ''T''(''g'')}} は一般には[[単射]]であるとは限らない。たとえば、すべての元 {{mvar|g}} に[[恒等変換]]を対応させるものも表現であって、これは'''恒等表現'''あるいは'''{{仮リンク|自明表現|en|Trivial representation}}'''と呼ばれる。一方、対応 {{math|''g'' &#8614; ''T''(''g'')}} が単射のときはその表現は'''[[忠実な表現]]'''であるという。

=== 既約表現 ===
{{main|既約表現}}
<math>\{\, T(g) \mid g \in G \,\}</math> で[[不変部分空間|不変]]な表現空間 {{mvar|V &ne; {0{{)}}}} の部分空間が {{mvar|V}}と {{math|{0{{)}}}} のふたつ以外に存在しないとき、表現 {{math|(''V'', ''T'')}} は'''既約'''であるという。既約でない表現を'''可約'''という。特に表現空間をいくつかの既約な不変部分空間の[[直和]]に分解できる場合、その表現を'''[[完全可約]]'''であるという。[[マシュケの定理]]より複素数体上における有限群の有限次元表現は常に完全可約である。既約表現に対して次の重要な補題が成り立つ：
;[[シューアの補題]]: {{mvar|T}} を群 {{mvar|G}} の[[代数的閉体]]上における有限次元既約表現とすると、すべての {{math|''T''(''g'')}} と可換な変換は恒等変換の定数倍に限られる。

また適当な[[相似変換]]によって[[ブロック対角]]型になる（簡約できる）表現を'''直可約表現'''、直可約でない表現を'''[[直既約表現]]'''という。

有限群の同値でない複素数体上の有限次元既約表現の数は、群の[[共役類]]の数と等しい。

=== ユニタリ表現 ===
{{main|ユニタリ表現}}
すべての {{math|''T''(''g'')}} が[[ユニタリ変換]]であるような表現を'''[[ユニタリ表現]]'''と呼ぶ（[[直交変換]]はユニタリ変換の特別な場合であるから、直交変換による表現もユニタリ表現である）。<!--ユニタリ同値-->

=== 誘導表現 ===
{{main|{{仮リンク|誘導表現|en|Induced representation}}}}
有限群 {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|H}} を取り、[[剰余類]]分解の[[完全代表系]] {{math|''t''<sub>1</sub>, &hellip;, ''t''<sub>''m''</sub>}} をひとつ固定する。
:<math> G = t_1H \amalg \dotsb \amalg t_mH.</math>
体 {{mvar|F}} 上の表現 {{math|''T'': ''H'' &rarr; GL<sub>''n''</sub>(''F'')}} の'''{{仮リンク|誘導表現|en|Induced representation}}''' {{math|''T''<sup>''G''</sup>: ''G'' &rarr; GL<sub>''nm''</sub>(''F'')}} とは次で定義される群 {{mvar|G}} の表現のことである。
:<math> T(g) = \begin{bmatrix} T(t_i^{-1}gt_j) \end{bmatrix}_{1 \leq i, j \leq m} </math>
ただし <math>x \not\in H</math> のときは {{math|''T''(''x'') {{=}} 0}} とする。誘導表現は剰余類分解の代表系の取り方に依存しない。

誘導表現 {{math|''T''<sup>''G''</sup>}} の次数は表現 {{mvar|T}} の次数の [[部分群の指数|{{math|{{abs|''G'' : ''H''}}}}]] 倍である。また自明な部分群の自明な表現の誘導表現は群 {{mvar|G}} の[[正則表現 (数学)|正則表現]]を与える。

部分群 {{mvar|H}} の表現加群を {{mvar|U}} としたとき誘導表現から定まる群 {{mvar|G}} の表現加群のことを'''誘導加群'''といい、{{math|''U''<sup>''G''</sup>}}, {{math|''U''&uarr;<sup>''G''</sup>}} あるいは {{math|Ind{{subsup||''H''|''G''}}''U''}} で表す。[[代数のテンソル積]]を使って {{math|''U''<sup>''G''</sup> {{=}} ''U'' &otimes;<sub>''FH''</sub>''FG''}} と定義しても同型な表現加群が定義できる。

== 具体例 ==
3次[[対称群]] {{math|''G'' {{=}} ''S''<sub>3</sub>}} の複素数体 {{math|'''C'''}} 上の有限次元な既約表現は同値なものを除くと次で定まる[[準同型写像]] {{math|''T''<sub>1</sub>, ''T''<sub>2</sub>, ''T''<sub>3</sub>}} の3つである。
* 1次元の[[自明表現]] {{math|''T''<sub>1</sub>: ''G'' &rarr; GL<sub>1</sub>('''C''')}}
:: (1, 2)(3) &#8614; [1], (1, 2, 3) &#8614; [1]
* [[符号表現]] {{math|''T''<sub>2</sub>: ''G'' &rarr; GL<sub>1</sub>('''C''')}}
:: (1, 2)(3) &#8614; [&minus;1], (1, 2, 3) &#8614; [1]
* {{math|''T''<sub>3</sub> : ''G'' &rarr; GL<sub>2</sub>('''C''')}}
:: (1, 2)(3) &#8614; <math>\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}</math>, (1, 2, 3) &#8614; <math>\begin{bmatrix}e^{2\pi i/3} & 0\\ 0 & e^{-2\pi i/3}\end{bmatrix}</math>

== 基本的な定理 ==
=== Frobenius相互律 ===
有限群 {{mvar|G}} の部分群 {{mvar|H}} を取る。群 {{mvar|G}} の表現 {{math|''T'' : ''G'' &rarr; GL(''V'')}} に対し、部分群 {{mvar|H}} への'''制限表現''' {{math|''T''<sub>''H''</sub> : ''H'' &rarr; GL(''V'')}} を {{math|''T''<sub>''H''</sub>(''h'') {{=}} ''T''(''h'')}} で定める。またこの制限表現から定まる部分群 {{mvar|H}} の表現加群のことを'''制限加群'''といい、{{math|''V''<sub>''H''</sub>}}, {{math|''V''&darr;<sub>''H''</sub>}} あるいは {{math|Res<sup>''G''</sup><sub>''H''</sub>''V''}} で表す。このとき線型空間としての同型
:<math>
 \operatorname{Hom}_{FH}(U, V_H) \cong \operatorname{Hom}_{FG}(U^G, V), \quad
 f \mapsto \big(\sum_{t \in G/H} u \otimes t \mapsto \sum_{t \in G/H} f(u)t\big)
</math>
:<math>
 \operatorname{Hom}_{FH}(V_H, U) \cong \operatorname{Hom}_{FG}(V, U^G), \quad
 f \mapsto \big(v \mapsto \sum_{t \in G/H} f(vt^{-1}) \otimes t)\big)
</math>
が成り立つ{{Sfn|Alperin|Bell|1995|pp=165, 173}}。これを'''Frobenius相互律''' (Frobenius reciprocity) という。

=== Mackeyの分解定理 ===
有限群 {{mvar|G}} の部分群 {{math|''H'', ''K''}} を取り、その両側剰余類分解を
:<math>G = \coprod_{t \in H \backslash G/K} HtK</math>
とする。このとき {{mvar|FH}} 加群 {{mvar|W}} について {{mvar|FK}} 加群として次の同型が成り立つ{{Sfn|Isaacs|1994|loc=[https://books.google.co.jp/books?id=KtiFfQ0uImsC&lpg=PA78&hl=ja&pg=PA74#v=onepage&q&f=false Problem 5.6]}}。
:<math> (W^G)_K \cong \bigoplus_{t \in H \backslash G/K} (W^t_{H^t \cap K})^K </math>
ここで {{math|''W<sup>t</sup>''}} は {{math|''FH<sup>t</sup>''}} 加群で、線形空間としては {{mvar|W}} と同型であり、{{math|''W<sup>t</sup>''}} の元を（形式的に）{{math|''w<sup>t</sup>''}} と表したとき、その作用は {{math|''w<sup>t</sup>h<sup>t</sup>'' {{=}} (''wh'')<sup>''t''</sup>}} で定める。この {{math|''FH<sup>t</sup>''}} 加群 {{math|''W<sup>t</sup>''}} は {{mvar|W}} の共役加群と呼ばれることがある。

=== Cliffordの定理 ===
有限群 {{mvar|G}} の正規部分群 {{mvar|N}} を取る。このとき {{mvar|FN}} 加群 {{mvar|W}} に対して
:<math>T = \{\, t \in G \mid W^t \cong W \,\}</math>
を {{mvar|W}} の'''惰性群'''（inertia group）という。

既約 {{mvar|FG}} 加群 {{mvar|V}} とその制限 {{math|''V<sub>N</sub>''}} の既約部分 {{mvar|FN}} 加群 {{mvar|W}} に対して、'''分岐指数'''（ramification index）と呼ばれる自然数 {{mvar|e}} が存在して、次の {{mvar|FN}} 加群としての同型が成り立つ{{Sfn|永尾|津島|2009|loc=定理III.3.1}}。
:<math>V_N \cong e\bigoplus_{t \in G/T} W^t</math>

== 量子力学における群の表現 ==
[[量子力学]]における[[ハミルトニアン]] <math>\hat{H}</math> が、ある変換群 {{mvar|G}} で不変であるとすると、1つの[[エネルギー固有値]] {{mvar|E}} に属するハミルトニアン <math>\hat{H}</math> の[[固有空間]]は群 {{mvar|G}} の[[ユニタリ表現]]の表現空間になっている。したがって群 {{mvar|G}} の既約なユニタリ表現を知ることで、ハミルトニアン <math>\hat{H}</math> の[[固有状態]]を分類することができる。これが[[原子]]や[[分子]]の状態や[[素粒子]]の分類に群論が有力な道具となる理由である。

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* Jean-Pierre Serre: ''Linear Representations of Finite Groups'', Springer (GTM,vol.42), 978-1-4684-9458-7 (1977).
* Jin-Quan Chen: ''Group Representation Theory for Physicists'', World Scientific (1989)
* {{Cite book
|last1     = Alperin
|first1    = J. L.
|last2     = Bell
|first2    = Rowen B.
|year      = 1995
|title     = [http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-94526-2 Groups and representations]
|publisher = Springer-Verlag
|series    = Graduate texts in mathematics
|volume    = 162
|isbn      = 0-387-94526-1
|ref       = harv
}}
* {{Cite book
|last1       = Isaacs
|first1      = I. Martin
|year        = 1994
|title       = Character theory of finite groups
|url         = {{google books|U-HmNAOdnkkC|Character theory of finite groups|plainurl=yes}}
|publisher   = Dover
|isbn        = 0-486-68014-2
|ref         = harv
}}
* Walter Ledermann: ''Introduction to group characters'', 2nd Ed., Cambridge University Press, ISBN 0-521-33781-X (1987). ※ 有限群の指標は表現行列の対角和である。

和書：
*『物理学辞典』 [[培風館]]、1984年.
* 山内恭彦：「回転群とその表現」、岩波書店（1957年).
* 服部昭：「群とその表現」、共立出版（共立数学講座18）(1967年11月1日).
* 横田一郎：「群と表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1110-X (1973年5月).　※ 復刊版2001年8月
* J.-P.セール(著)、岩堀長慶、横沼健雄(共訳)：「有限群の線型表現」、岩波書店（1974年3月4日）.
* 島和久：「連続群とその表現」、岩波書店 (1981年4月24日).
* 永尾汎、津島行男：「有限群の表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1310-2 (1987年8月15日).　※ 復刊版2001年9月 ※ 程度はかなり高い。
* 吉川圭二：「群と表現」、岩波書店、ISBN 4-00-007979-4 (1996年10月18日).
* 平井武：「線型代数と群の表現 I」、朝倉書店、ISBN 4-254-11496-6 (2001年11月20日).
* 平井武：「線型代数と群の表現 II」、朝倉書店、ISBN 4-254-11497-4 (2001年11月20日).
* 岡田聡一：「古典群の表現論と組合せ論　上」、培風館、ISBN 4-563-00663-7 (2006年3月30日).
* 岡田聡一：「古典群の表現論と組合せ論　下」、培風館、ISBN 4-563-00664-5 (2006年3月30日).
* 高瀬幸一：「群の表現論序説」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005271-9（2013年5月30日).

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|有限群の表現|en|Representation theory of finite groups}}
* [[位相群の表現]]
* [[リー群の表現]]
* [[指標表]]

== 外部リンク ==
* {{cite web 
|url= http://www.ams.org/notices/199803/lam.pdf
|title= Representations of Finite Groups: A Hundred Years, Part I
|accessdate= 2016-01-11
|last= Lam
|first= T. Y. 
|year= 1998
|month= March
|format= PDF
|work= Notices of the AMS
|ref= harv
}}
* {{cite web 
|url= http://www.ams.org/notices/199804/lam2.pdf
|title= Representations of Finite Groups: A Hundred Years, Part II
|accessdate= 2016-01-11
|last= Lam
|first= T. Y. 
|year= 1998
|month= April
|format= PDF
|work= Notices of the AMS
|ref= harv
}}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:くんのひようけん}}
[[Category:群論]]
[[Category:表現論]]
[[Category:群の表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[de:Darstellungstheorie]]