胡蝶定理のソースを表示

{{for|胡蝶補題|{{仮リンク|ツァッセンハウスの補題|en|Zassenhaus lemma}}}}
[[Image:Butterfly theorem.svg|245px|thumb]]
'''胡蝶定理'''（こちょうていり、{{lang-en-short|butterfly theorem}}）は、[[ユークリッド幾何学]]における古典的な結果である。[[ウィリアム・ウォレス (数学者)|ウィリアム・ウォレス]]によってはじめて提起されたとされる<ref>{{Cite web |title=William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem |url=https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/WallaceButterfly.shtml |website=www.cut-the-knot.org |access-date=2024-06-21}}</ref>。この定理は次のように述べられる<ref name=Johnson>Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ., 2007 (orig. 1929).</ref>{{rp|p. 78}}。

{{ math theorem
| 胡蝶定理
| 弦 {{math|PQ}} の中点を {{math|M}} とし、{{math|M}} を通る二つの弦 {{math|AB}}, {{math|CD}} をひき、{{math|AD}}, {{math|BC}} が {{math|PQ}} と交わる点をそれぞれ {{math|X}}, {{math|Y}} とする。このとき {{math|M}} は {{math|XY}} の中点である。
| style = display:table
}}

== 証明 ==
[[Image:Butterfly1.svg|right|border]]
形式的な証明を以下に述べる。

{{math|XX'}}, {{math|XX<nowiki>''</nowiki>}} をそれぞれ {{math|X}} から {{math|AM}}, {{math|DM}} に下ろした垂線とし、同様に {{math|YY'}}, {{math|YY<nowiki>''</nowiki>}} をそれぞれ {{math|Y}} から {{math|BM}}, {{math|CM}} に下ろした垂線とする。

{{math|∠MX'X {{=}} ∠MY'Y {{=}} 90°}} かつ {{math|∠X'MX {{=}} ∠Y'MY}} （対頂角）であるから {{math|△MXX'}} と {{math|△MYY'}} は[[図形の相似|相似]]。従って次式が成り立つ。

: <math>\mathrm{ {MX \over MY} = {XX' \over YY'} }</math>

同様に {{math|△MXX<nowiki>''</nowiki>}} と {{math|△MYY<nowiki>''</nowiki>}} も相似であるので、次式が成り立つ。

: <math>\mathrm{ {MX \over MY} = {XX'' \over YY''} }</math>

{{math|∠AX'X {{=}} ∠CY<nowiki>''</nowiki>Y {{=}} 90°}} かつ {{math|∠XAX' {{=}} ∠YCY<nowiki>''</nowiki>}} （[[円周角]]の定理） であるから {{math|△AXX'}} と {{math|△CYY<nowiki>''</nowiki>}} は相似。従って次式が成り立つ。
: <math>\mathrm{ {XX' \over YY''} = {AX \over CY} }</math>

同様に {{math|△DXX<nowiki>''</nowiki>}} と {{math|△BYY'}} も相似であるので、次式が成り立つ。

: <math>\mathrm{ {XX'' \over YY'} = {DX \over BY} }</math>

以上の式より

: <math>\mathrm{ \left({MX \over MY}\right)^2
                                = {XX' \over YY' } {XX'' \over YY''} }</math>
: <math>\mathrm{ \qquad\qquad\; = {AX \cdot DX \over CY \cdot BY} }</math>
: <math>\mathrm{ \qquad\qquad\; = {PX \cdot QX \over PY \cdot QY} }</math>　（∵[[方べきの定理]]）
: <math>\mathrm{ \qquad\qquad\; = {(PM-XM) \cdot (MQ+XM) \over (PM+MY) \cdot (QM-MY)} }</math>
: <math>\mathrm{ \qquad\qquad\; = { (PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2} \quad(\because PM = MQ ) }</math>

となり、ゆえに

: <math>\mathrm{  { (MX)^2 \over (MY)^2} = {(PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2} }</math>

であるから、{{math|MX {{=}} MY}} 即ち {{math|M}} が {{math|XY}} の中点であることが従う。

このほか射影幾何学を用いた証明も存在する<ref>[http://www.imomath.com/index.php?options=628&lmm=0], problem 8.</ref><ref>{{Cite journal|author=Martin Celli|year=2016|title=A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity  Factor of the Two Wings|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|issue=Volume 16|pages=337-338}}</ref>。
== 一般化 ==
[[ファイル:Sharygin-butterfly.svg|サムネイル|右|シャリーギンの一般化]]
[[イーゴリ・フェドロヴィッチ・シャリーギン]]は次の一般化を示した<ref>{{Lang|ru|Протасов В. Ю., Тихомиров В. М. Геометрические шедевры И. Ф. Шарыгина. В книге «Геометрические олимпиады имени И. Ф. Шарыгина», стр.}} 146.</ref>。
:円の弦{{Mvar|AB}}上に、{{Math|1= ''AM'' = ''BN''}}を満たすように点{{Mvar|M, N}}を取る。それぞれ{{Mvar|M, N}}を通る弦{{Mvar|PQ, RS}}を描く。それぞれ弦{{Mvar|PR, SQ}}が{{Mvar|AB}}と交わる点を{{Mvar|L, K}}とすれば、{{Math|1= ''AK'' = ''BL''}}が成立する。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld |title=Butterfly Theorem |urlname=ButterflyTheorem}}

{{DEFAULTSORT:こちようていり}}
[[Category:円に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]