胡蝶定理

胡蝶定理（こちょうていり、テンプレート:Lang-en-short）は、ユークリッド幾何学における古典的な結果である。ウィリアム・ウォレスによってはじめて提起されたとされる。この定理は次のように述べられるテンプレート:Rp。

証明

形式的な証明を以下に述べる。

テンプレート:Math, テンプレート:Math をそれぞれ テンプレート:Math から テンプレート:Math, テンプレート:Math に下ろした垂線とし、同様に テンプレート:Math, テンプレート:Math をそれぞれ テンプレート:Math から テンプレート:Math, テンプレート:Math に下ろした垂線とする。

テンプレート:Math かつ テンプレート:Math （対頂角）であるから テンプレート:Math と テンプレート:Math は相似。従って次式が成り立つ。

$\frac{MX}{MY}\mathrm{=}\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}$

同様に テンプレート:Math と テンプレート:Math も相似であるので、次式が成り立つ。

$\frac{MX}{MY}\mathrm{=}\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}}$

テンプレート:Math かつ テンプレート:Math （円周角の定理） であるから テンプレート:Math と テンプレート:Math は相似。従って次式が成り立つ。

$\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}}\mathrm{=}\frac{AX}{CY}$

同様に テンプレート:Math と テンプレート:Math も相似であるので、次式が成り立つ。

$\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{\prime }}\mathrm{=}\frac{DX}{BY}$

以上の式より

${\left(\frac{MX}{MY}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}}$

$\mathrm{=}\frac{AX\cdot DX}{CY\cdot BY}$

$\mathrm{=}\frac{PX\cdot QX}{PY\cdot QY}$　（∵方べきの定理）

$\mathrm{=}\frac{(PM-XM)\cdot (MQ+XM)}{(PM+MY)\cdot (QM-MY)}$

$\mathrm{=}\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2}\mathrm{(}\mathrm{\because }\mathrm{P}\mathrm{M}\mathrm{=}\mathrm{M}\mathrm{Q}\mathrm{)}$

となり、ゆえに

$\frac{(MX{)}^2}{(MY{)}^2}\mathrm{=}\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2}$

であるから、テンプレート:Math 即ち テンプレート:Math が テンプレート:Math の中点であることが従う。

このほか射影幾何学を用いた証明も存在する。

一般化

シャリーギンの一般化

イーゴリ・フェドロヴィッチ・シャリーギンは次の一般化を示した。

円の弦テンプレート:Mvar上に、テンプレート:Mathを満たすように点テンプレート:Mvarを取る。それぞれテンプレート:Mvarを通る弦テンプレート:Mvarを描く。それぞれ弦テンプレート:Mvarがテンプレート:Mvarと交わる点をテンプレート:Mvarとすれば、テンプレート:Mathが成立する。

外部リンク

• テンプレート:MathWorld