自由リー環のソースを表示

[[数学]]において，与えられた[[可換体|体]] {{mvar|K}} 上の'''自由リー環'''（{{lang-en-short|free Lie algebra}}）は，集合 {{mvar|X}} によって何の関係も課されることなく生成される[[リー環]]である．

==定義==
[[Image:Free lie.png|right|thumb|100px]]
: {{mvar|X}} を集合とし，{{math|''i'': ''X'' &rarr; ''L''}} を {{mvar|X}} からリー環 {{mvar|L}} への写像とする．リー環 {{mvar|L}} が {{mvar|X}} '''上自由'''であるとは，任意のリー環 {{mvar|A}} と写像 {{math|''f'': ''X'' &rarr; ''A''}} に対して，{{math|1=''f'' = ''g'' ∘ ''i''}} なるリー環の準同型 {{math|''g'': ''L'' &rarr; ''A''}} が一意的に存在することをいう．

集合 {{mvar|X}} が与えられたとき，{{mvar|X}} によって生成される自由リー環 {{math|''L''(''X'')}} が一意的に存在することを示すことができる．

圏論のことばでは，集合 {{mvar|X}} を {{mvar|X}} で生成された自由リー環に送る[[関手]]は[[集合の圏]]からリー環の圏への{{仮リンク|自由関手|en|Free object#Free functor}}である．つまり，{{仮リンク|忘却関手|en|forgetful functor}}の[[左随伴]]である．

集合 {{mvar|X}} 上の自由リー環は自然に次数付けられる．自由リー環の 0 次成分は単にその集合上の自由ベクトル空間である．

ベクトル空間 {{mvar|V}} 上の自由リー環を，[[可換体|体]] {{mvar|K}} 上のリー環の圏から体 {{mvar|K}} 上のベクトル空間の圏への忘却関手，リー環の構造を忘れるがベクトル空間の構造は覚えておく関手の左随伴としても定義できる．

==普遍包絡環==
集合 {{mvar|X}} 上の自由リー環の[[普遍包絡環]]は {{mvar|X}} で生成された[[自由結合代数]]である．{{仮リンク|ポワンカレ・バーコフ・ヴィットの定理|en|Poincaré–Birkhoff–Witt theorem}}により，それは自由リー環の対称代数と「同じ大きさ」である（つまり，両者を {{mvar|X}} の元に次数 1 を与えて次数付けると，それらは次数付きベクトル空間として同型である）．このことは自由リー環の任意の与えられた次数のピースの次元を記述するのに使うことができる．

ヴィットは {{mvar|m}} 元集合上の自由リー環における次数 {{mvar|k}} の基本交換子の個数が[[ネックレス多項式]]
:<math>N_k = \frac{1}{k}\sum_{d|k}\mu(d)\cdot m^{k/d}</math>
で与えられることを示した．ここで {{mvar|&mu;}} は[[メビウス関数]]である．

有限集合上の自由リー環の普遍包絡環の次数付き双対は {{仮リンク|shuffle algebra|en|shuffle algebra}} である．

==ホール集合==

自由リー環の明示的な基底は '''ホール集合''' (Hall set) を用いて与えることができる．これは {{mvar|X}} 上の[[自由マグマ]]のある種の部分集合である．自由マグマの元は葉が {{mvar|X}} の元でラベル付けられる[[二分木]]である．ホール集合は群に関する {{仮リンク|Philip Hall|en|Philip Hall}} の研究に基づいて {{harvs|txt||first=Marshall |last=Hall|authorlink=Marshall Hall (mathematician)|year=1950}} によって導入された．続いて {{仮リンク|Wilhelm Magnus|en|Wilhelm Magnus}} は，それらが，[[降中心列]]によって与えられる[[自由群]]上のフィルトレーションに付随する[[次数付きリー環]]として生じることを示した．この対応は Philip Hall と [[Ernst Witt]] による[[群論]]における[[交換子]]の恒等式に動機づけられた．

==リンドン基底==
特に，{{仮リンク|Lyndon word|en|Lyndon word}} に対応する自由リー環の基底が存在し，'''Lyndon basis''' と呼ばれる．（これは Chen–Fox–Lyndon basis あるいは Lyndon–Shirshov basis とも呼ばれ，本質的には '''Shirshov basis''' と同じである．）ある順序付けられた alphabet の Lyndon words からこの alphabet 上の自由リー環の基底への次のように定義される全単射 {{mvar|γ}} が存在する．
*word {{mvar|w}} の長さが 1 ならば {{math|1=''γ''(''w'') = ''w''}} である（自由リー環の生成元）．
* {{mvar|w}} の長さが 2 以上ならば，{{mvar|v}} の長さがなるべく長くなるように Lyndon words {{math|''u'', ''v''}} をとって {{math|1=''w''=''uv''}} と書く ("standard factorization"<ref>{{citation | last1 = Berstel | first1 = Jean | last2 = Perrin | first2 = Dominique | doi = 10.1016/j.ejc.2005.07.019 | mr = 2300777 | issue = 3 | journal = [[European Journal of Combinatorics]] | pages = 996–1022 | title = The origins of combinatorics on words | url = http://www-igm.univ-mlv.fr/~berstel/Articles/2007Origins.pdf | volume = 28 | year = 2007}}</ref>)．このとき {{math|1=''γ''(''w'') = [''γ''(''u''), ''γ''(''v'')]}} である．

== シルショフ・ヴィットの定理 ==

{{harvs|txt|last=Širšov|authorlink=Anatoly Illarionovich Shirshov|year=1953}} と {{harvs|txt|last=Witt|year=1956}} は自由リー環の任意の[[部分リー環]]はそれ自身自由リー環であることを示した．

==応用==
{{仮リンク|絡み目群|en|link group}}の Milnor 不変量は，その記事で議論されているように，自由リー環と関係する．

==関連項目==
*{{仮リンク|自由対象|en|Free object}}
*[[自由代数]]
*[[自由群]]

==参考文献==
{{reflist}}
* {{SpringerEOM|title=Free Lie algebra over a ring|last=Bakhturin|first=Yu.A. |urlname=Lie_algebra,_free}}
* N. Bourbaki, "Lie Groups and Lie Algebras", Chapter II: Free Lie Algebras, Springer, 1989. ISBN 0-387-50218-1
*{{Citation | last1=Chen | first1=Kuo-Tsai | last2=Fox | first2=Ralph H. | authorlink2=Ralph Fox | last3=Lyndon | first3=Roger C. | authorlink3=Roger Lyndon | title=Free differential calculus. IV. The quotient groups of the lower central series | jstor=1970044 | mr=0102539 | year=1958 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=68 | pages=81–95 | issue=1 | doi=10.2307/1970044}}
*{{Citation | last1=Hall | first1=Marshall | title=A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups | url=http://www.ams.org/journals/proc/1950-001-05/S0002-9939-1950-0038336-7/ | doi=10.1090/S0002-9939-1950-0038336-7  | mr=0038336 | year=1950 | journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9939 | volume=1 | pages=575–581 | issue=5}}
*{{Citation | last=Lothaire | first=M. | authorlink=M. Lothaire | others=Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Pin, J. E.; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, M. P.; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Foreword by Roger Lyndon | title=Combinatorics on words | edition=2nd | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=17 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1997 | isbn=0-521-59924-5 | zbl=0874.20040 | pages=76–91, 98 }}
*{{Citation | last1=Magnus | first1=Wilhelm | author1-link=Wilhelm Magnus | title=Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00217412X | language=German | doi=10.1515/crll.1937.177.105 | jfm=63.0065.01 | year=1937 | journal=Journal für Reine und Angewandte Mathematik | issn=0075-4102 | volume=177 | pages=105–115 | issue=177}}
* W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar, "Combinatorial group theory". Reprint of the 1976 second edition, Dover, 2004. ISBN 0-486-43830-9
* {{SpringerEOM|title=Hall set|author=G. Melançon|urlname=Hall_set}}
* {{SpringerEOM|title=Hall word|author=G. Melançon|urlname=Hall_word}}
*{{SpringerEOM|title=Shirshov basis|last=Melançon|first=G. |urlname=Shirshov_basis}}
*{{Citation | last1=Reutenauer | first1=Christophe | title=Free Lie algebras | url=https://books.google.com/books?id=cBvvAAAAMAAJ | publisher=The Clarendon Press Oxford University Press | series=London Mathematical Society Monographs. New Series | isbn=978-0-19-853679-6 | mr=1231799 | year=1993 | volume=7}}
*{{Citation | last1=Širšov | first1=A. I. | title=Subalgebras of free Lie algebras | mr=0059892 | year=1953 | journal=Mat. Sbornik N.S. | volume=33 | issue = 75  | pages=441–452}}
*{{Citation | last1=Širšov | first1=A. I. | title= On free Lie rings |year=1958 | journal=Mat. Sb. | volume=45 | issue = 2  | pages=113-122}}
*Selected works of A.I. Shirshov. Eds. Bokut, L.A., Latyshev, V., Shestakov, I., Zelmanov, E.,  Trs.M.,Bremner, Kochetov, M.  Birkh\"auser, Basel,Boston, Berlin (2009)
*{{Citation | last1=Witt | first1=Ernst | author1-link=Ernst Witt | title=Die Unterringe der freien Lieschen Ringe | doi=10.1007/BF01166568 | mr=0077525 | year=1956 | journal=[[Mathematische Zeitschrift]] | issn=0025-5874 | volume=64 | pages=195–216}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しゆうりいかん}}
[[Category:リー環の性質]]
[[Category:自由代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]