自由リー環

提供: testwiki
ナビゲーションに移動 検索に移動

数学において，与えられた体 テンプレート:Mvar 上の自由リー環（テンプレート:Lang-en-short）は，集合 テンプレート:Mvar によって何の関係も課されることなく生成されるリー環である．

定義

テンプレート:Mvar を集合とし，テンプレート:Math を テンプレート:Mvar からリー環 テンプレート:Mvar への写像とする．リー環 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上自由であるとは，任意のリー環 テンプレート:Mvar と写像 テンプレート:Math に対して，テンプレート:Math なるリー環の準同型 テンプレート:Math が一意的に存在することをいう．

集合 テンプレート:Mvar が与えられたとき，テンプレート:Mvar によって生成される自由リー環 テンプレート:Math が一意的に存在することを示すことができる．

圏論のことばでは，集合 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar で生成された自由リー環に送る関手は集合の圏からリー環の圏へのテンプレート:仮リンクである．つまり，テンプレート:仮リンクの左随伴である．

集合 テンプレート:Mvar 上の自由リー環は自然に次数付けられる．自由リー環の 0 次成分は単にその集合上の自由ベクトル空間である．

ベクトル空間 テンプレート:Mvar 上の自由リー環を，体 テンプレート:Mvar 上のリー環の圏から体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間の圏への忘却関手，リー環の構造を忘れるがベクトル空間の構造は覚えておく関手の左随伴としても定義できる．

普遍包絡環

集合 テンプレート:Mvar 上の自由リー環の普遍包絡環は テンプレート:Mvar で生成された自由結合代数である．テンプレート:仮リンクにより，それは自由リー環の対称代数と「同じ大きさ」である（つまり，両者を テンプレート:Mvar の元に次数 1 を与えて次数付けると，それらは次数付きベクトル空間として同型である）．このことは自由リー環の任意の与えられた次数のピースの次元を記述するのに使うことができる．

ヴィットは テンプレート:Mvar 元集合上の自由リー環における次数 テンプレート:Mvar の基本交換子の個数がネックレス多項式

Nk=1k∑d|kμ(d)⋅mk/d

で与えられることを示した．ここで テンプレート:Mvar はメビウス関数である．

有限集合上の自由リー環の普遍包絡環の次数付き双対は テンプレート:仮リンク である．

ホール集合

自由リー環の明示的な基底は ホール集合 (Hall set) を用いて与えることができる．これは テンプレート:Mvar 上の自由マグマのある種の部分集合である．自由マグマの元は葉が テンプレート:Mvar の元でラベル付けられる二分木である．ホール集合は群に関する テンプレート:仮リンク の研究に基づいて テンプレート:Harvs によって導入された．続いて テンプレート:仮リンク は，それらが，降中心列によって与えられる自由群上のフィルトレーションに付随する次数付きリー環として生じることを示した．この対応は Philip Hall と Ernst Witt による群論における交換子の恒等式に動機づけられた．

リンドン基底

特に，テンプレート:仮リンク に対応する自由リー環の基底が存在し，Lyndon basis と呼ばれる．（これは Chen–Fox–Lyndon basis あるいは Lyndon–Shirshov basis とも呼ばれ，本質的には Shirshov basis と同じである．）ある順序付けられた alphabet の Lyndon words からこの alphabet 上の自由リー環の基底への次のように定義される全単射 テンプレート:Mvar が存在する．

シルショフ・ヴィットの定理

テンプレート:Harvs と テンプレート:Harvs は自由リー環の任意の部分リー環はそれ自身自由リー環であることを示した．

応用

テンプレート:仮リンクの Milnor 不変量は，その記事で議論されているように，自由リー環と関係する．

関連項目

参考文献

テンプレート:Reflist

テンプレート:Normdaten

  1. ↑ テンプレート:Citation
「https://ja.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=自由リー環&oldid=11120」から取得