ネックレス多項式

組合せ数学において、ネックレス多項式 (necklace polynomial) あるいは（モロー (Moreau) の）ネックレス数え上げ関数 (necklace-counting function) は、以下の式が成り立つような テンプレート:Math の多項式 テンプレート:Math である。

${\alpha }^n=\sum _{d\mid n}dM(\alpha ,d).$

メビウスの反転公式によって、ネックレス多項式は

$M(\alpha ,n)=\frac{1}{n}\sum _{d\mid n}\mu \left(\frac{n}{d}\right){\alpha }^d$

となる。ここで テンプレート:Math は古典的なメビウス関数である。

ネックレス多項式は テンプレート:Harvs によって研究された関数と密接な関係にあるが、同じというわけではない。モローはネックレスの個数を数えたが、ネックレス多項式は非周期的なネックレスの個数を数える。

ネックレス多項式は以下のように現れる。

• 色はそれぞれ テンプレート:Math 色の中から選ばれる テンプレート:Mvar 個のビーズを組み合わせて作ることのできる非周期的テンプレート:仮リンク（テンプレート:仮リンクとも呼ばれる）の個数。（「ネックレス」という用語は誤解を招くかもしれない。ネックレスをテーブルから持ち上げて裏返すと、時計回りと反時計回りが逆になり、そのような操作で対称的でない限り、異なるネックレスとなり、別々に数えられるのである。）
• テンプレート:Math 個の生成元上の自由リー代数の テンプレート:Mvar 次のピースの次元（「ヴィットの公式」）
• （テンプレート:Math が素数の冪であるとき）テンプレート:Math 個の元からなる有限体上の テンプレート:Mvar 次のモニック既約多項式の個数
• テンプレート:仮リンクの指数
• サイズ テンプレート:Math のアルファベットの長さ テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクの個数。

値

• テンプレート:Math
• テンプレート:Math
• テンプレート:Math
• テンプレート:Math
• テンプレート:Math
• テンプレート:Math
• テンプレート:Math,　ただし テンプレート:Mvar は素数。
• テンプレート:Math を テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の最大公約数、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の最小公倍数として、

$M(\alpha \beta ,n)=\sum _{[i,j]=n}(i,j)M(\alpha ,i)M(\beta ,j).$　

関連項目

• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation