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[[数学]]、とくに[[群論]]における'''自由積'''（じゆうせき、{{lang-en-short|free product}}）は、2つの[[群 (数学)|群]] ''G'', ''H'' から新しい群 ''G'' ∗ ''H'' を構成する操作である。''G'' ∗ ''H'' は ''G'' と ''H'' をともに[[部分群]]として含み、''G'' と ''H'' の元によって[[群の生成集合|生成]]され、そして、これらの性質を持つ「最も一般的な」群である。''G'' と ''H'' の一方が[[自明群|自明]]でないかぎり、自由積は必ず無限群である。自由積の構成は[[自由群]]（与えられた生成集合から作ることのできる最も一般的な群）の構成と類似している。

自由積は[[群の圏]]における[[余積]]である。つまり、自由積が群論において果たす役割は、[[集合論]]における[[非交和]]や[[加群論]]における[[加群の直和|直和]]のそれと同じである。もとの群が可換であったとしても、一方が自明でない限り、自由積は可換ではない。したがって、自由積は[[アーベル群の圏]]における余積ではない。

自由積は{{仮リンク|ファン・カンペンの定理|en|van Kampen's theorem}}のために[[代数トポロジー]]において重要である。この定理はある条件を満たす2つの[[弧状連結]][[位相空間]]の[[和集合]]の[[基本群]]は常にもとの空間の基本群の'''融合積'''であるというものである。とくに2つの空間の[[ウェッジ和]]（すなわち1点で2つの空間を貼りあわせて得られる空間）の基本群は単に空間の基本群の自由積である。

自由積はまた[[木 (数学)|木]]に自己同型として[[群作用|作用]]する群の研究である{{仮リンク|バス&ndash;セール理論|en|Bass–Serre theory}}においても重要である<ref>https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kida/jarticle/11kinosaki.pdf</ref><ref>https://www.cck.dendai.ac.jp/math/~t-hara/pdf/waseda2013.pdf</ref>。特に、木に対する有限頂点固定群を持つ任意の群作用は融合積と{{仮リンク|ヒグマン&ndash;ノイマン&ndash;ノイマン拡大|en|HNN extension|label= HNN-拡大}}を用いて有限群から構成することができる。この理論において、[[双曲平面]]のある種の[[三角形分割]]上への[[モジュラー群]]の作用を用いれば、モジュラー群が位数 {{math|4}} および {{math|6}} の[[巡回群]]の、位数 {{math|2}} の巡回群上でとった融合積に[[群同型|同型]]となることが示せる。

群の自由積（＝余積）は{{仮リンク|亜群|en|groupoid}}の圏において考えるのが適している {{harv|Higgins|1971}} 。群の非交和は、群にはならないが、亜群にはなるという点に注目する。任意の亜群 {{mvar|G}} は必ず普遍群 (universal group) {{mvar|''U''(''G'')}} を持つが、群の非交和の普遍群はそれら群の自由積（＝余積）に一致するのである。

==構成==
''G'' と ''H'' が群であるとき、''G'' と ''H'' の{{仮リンク|語 (群論)|en|word (group theory)|label='''語'''}}とは
:<math>s_1 s_2 \cdots s_n</math>
の形の積である。ここで各 ''s''<sub>''i''</sub> は ''G'' か ''H'' の元である。そのような語は以下の操作により'''縮約'''できる：
* （''G'' あるいは ''H'' の）単位元を取りのぞく。
* ''G'' の2つの元により ''g''<sub>1</sub>''g''<sub>2</sub> となっている部分はそれを ''G'' における積で置き換える。''H'' についても同様。
縮約されたすべての語は ''G'' の元と ''H'' の元が交互に並ぶ積である。例えば、
:<math>g_1 h_1 g_2 h_2 \cdots g_k h_k.</math>
'''自由積''' (free product) ''G'' ∗ ''H'' は、元が ''G'' と ''H'' の縮約された語であって、積は連結して縮約したものとする群である。

例えば、''G'' が無限巡回群 &lang;''x''&rang; で、''H'' が無限巡回群 &lang;''y''&rang; であれば、''G'' ∗ ''H'' のすべての元は、''x'' のベキと ''y'' のベキが交互に並ぶ積である。この場合、''G'' ∗ ''H'' は ''x'' と ''y'' によって生成された自由群に同型である。

==表示==
:<math>G = \langle S_G \mid R_G \rangle</math>
を ''G'' の[[群の表示|表示]]とし（ただし ''S''<sub>''G''</sub> は生成系で ''R''<sub>''G''</sub> は関係式の集合）、
:<math>H = \langle S_H \mid R_H \rangle</math>
を ''H'' の表示とする。このとき
:<math>G * H = \langle S_G \cup S_H \mid R_G \cup R_H \rangle</math> 
となる。つまり、''G'' ∗ ''H'' は ''G'' の生成元と ''H'' の生成元によって生成され、''G'' の関係式と ''H'' の関係式を持つ（ここで表記の衝突は無くこれらは[[非交和]]であることを仮定している）。

例えば、''G'' が位数 4 の巡回群
:<math>G = \langle x \mid x^4 = 1 \rangle</math>
であり、''H'' が位数 5 の巡回群
:<math>H = \langle y \mid y^5 = 1 \rangle</math>
であれば、''G'' ∗ ''H'' は無限群
:<math>G * H = \langle x, y \mid x^4 = y^5 = 1 \rangle</math>
である。

自由群には元の間の関係はないから、自由群の自由積は常に自由群である。とくに、
:<math>F_m * F_n \cong F_{m+n}</math>
である、ただし ''F''<sub>''n''</sub> は ''n'' 個の生成元の自由群を表す。

==一般化：融合積==
{{main|{{仮リンク|融合積|de|Amalgamiertes Produkt}}}}
より一般の構成として、同じ[[圏 (数学)|圏]]における{{仮リンク|押し出し (圏論)|en|pushout (category theory)|label=押し出し}}に対応する'''融合積''' ({{en|free product with amalgamation, amalgamated product}}) がある。上で述べたと同じく {{mvar|G, H}} と、さらに任意の群 {{mvar|F}} からの二つの[[群準同型]]
: <math>\varphi\colon F \to G, \quad \psi\colon F \to H</math>
が与えられたとき、自由積 {{math|''G'' ∗ ''H''}} を作り、各 {{math|''f'' &isin; ''F''}} に対して
: <math>\varphi(f)\psi(f)^{-1}=1</math>
なる形の関係式を添加する（暗黙的に {{mvar|G}} および {{mvar|H}} をそれらの自由積 {{math|''G'' ∗ ''H''}} に部分群として埋め込んで考えていることに注意）。即ち、左辺の形の元全てを含む {{math|''G'' ∗ ''H''}} の{{仮リンク|正規包|label=最小の正規部分群|en|Conjugate closure}} を {{mvar|N}} として、{{mvar|G}} と {{mvar|H}} との（{{mvar|φ, ψ}} に関する）融合積とは、[[剰余群]]
: <math>(G * H)/N</math>
のことを言う。ここでいう「融合」(amalgamation) というのは、{{mvar|G}} の部分集合である {{math|φ(''F'')}} と {{mvar|H}} の部分集合である {{math|ψ(''F'')}} とを、元ごとに（つまり {{mvar|F}} の元 {{mvar|f}} ごとに）強制的に同一視する操作ということを意味している。この構成法は、二つの連結空間を弧状連結な部分空間（先の {{mvar|F}} はこの部分空間の基本群の役割を果たすものとしてとれる）に沿って貼り合せた空間の基本群の計算に利用できる（{{仮リンク|ザイフェルト&ndash;ファンカンペンの定理|en|Seifert–van Kampen theorem}}を参照）。融合積の部分群に関する詳細は {{harv|Karrass|Solitar|1970}} を参照のこと。

融合積およびそれと近しい概念である{{仮リンク|ヒグマン&ndash;ノイマン&ndash;ノイマン拡大|en|HNN extension|label= HNN-拡大}}は、木に作用する群に関するバス&ndash;セール理論の基本的な構成要素である。

==他の分野において==
群以外の代数的構造、例えば[[体上の多元環]]において、自由積を同様に定義することができる。[[確率変数]]の（多元）環の自由積は、古典的な[[確率論]]における[[確率論的独立性|独立性]]の概念が[[デカルト積]]によって定義されるのと同様の意味において、{{仮リンク|自由確率|en|free probability}}論における{{仮リンク|自由独立性|en|free independence|label=自由性 (freeness)}} の概念を定義する役割を果たす。

==関連項目==
*[[群の直積]]
*[[余積]]
*{{仮リンク|群のグラフ|en|Graph of groups}}
*{{仮リンク|Kuroshの部分群定理|en|Kurosh subgroup theorem}}
*{{仮リンク|自由群と群の自由群の標準形|en|Normal form for free groups and free product of groups}}
*[[普遍性]]

==参考文献==
* {{planetmath reference|id=6574|title=Free product}}
* {{planetmath reference|id=3944|title=Free product with amalgamated subgroup}}

* [http://mathoverflow.net/questions/175923/why-are-we-interested-in-the-fundamental-groupoid-of-a-space/176007#176007 Categories and Groupoids, by Philip Higgins]

* A. Karrass and D. Solitar, The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup, Trans. Amer. Math. Soc. 150 (1970), 227–255

==脚注==
{{Reflist}}

{{デフォルトソート:しゆうせき}}
[[Category:群論]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:自由代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]