自由積

数学、とくに群論における自由積（じゆうせき、テンプレート:Lang-en-short）は、2つの群 G, H から新しい群 G ∗ H を構成する操作である。G ∗ H は G と H をともに部分群として含み、G と H の元によって生成され、そして、これらの性質を持つ「最も一般的な」群である。G と H の一方が自明でないかぎり、自由積は必ず無限群である。自由積の構成は自由群（与えられた生成集合から作ることのできる最も一般的な群）の構成と類似している。

自由積は群の圏における余積である。つまり、自由積が群論において果たす役割は、集合論における非交和や加群論における直和のそれと同じである。もとの群が可換であったとしても、一方が自明でない限り、自由積は可換ではない。したがって、自由積はアーベル群の圏における余積ではない。

自由積はテンプレート:仮リンクのために代数トポロジーにおいて重要である。この定理はある条件を満たす2つの弧状連結位相空間の和集合の基本群は常にもとの空間の基本群の融合積であるというものである。とくに2つの空間のウェッジ和（すなわち1点で2つの空間を貼りあわせて得られる空間）の基本群は単に空間の基本群の自由積である。

自由積はまた木に自己同型として作用する群の研究であるテンプレート:仮リンクにおいても重要である。特に、木に対する有限頂点固定群を持つ任意の群作用は融合積とテンプレート:仮リンクを用いて有限群から構成することができる。この理論において、双曲平面のある種の三角形分割上へのモジュラー群の作用を用いれば、モジュラー群が位数 テンプレート:Math および テンプレート:Math の巡回群の、位数 テンプレート:Math の巡回群上でとった融合積に同型となることが示せる。

群の自由積（＝余積）はテンプレート:仮リンクの圏において考えるのが適している テンプレート:Harv 。群の非交和は、群にはならないが、亜群にはなるという点に注目する。任意の亜群 テンプレート:Mvar は必ず普遍群 (universal group) テンプレート:Mvar を持つが、群の非交和の普遍群はそれら群の自由積（＝余積）に一致するのである。

構成

G と H が群であるとき、G と H のテンプレート:仮リンクとは

$s_1{s}_2\cdots s_n$

の形の積である。ここで各 s_i は G か H の元である。そのような語は以下の操作により縮約できる：

• （G あるいは H の）単位元を取りのぞく。
• G の2つの元により g₁g₂ となっている部分はそれを G における積で置き換える。H についても同様。

縮約されたすべての語は G の元と H の元が交互に並ぶ積である。例えば、

$g_1{h}_1{g}_2{h}_2\cdots g_k{h}_k.$

自由積 (free product) G ∗ H は、元が G と H の縮約された語であって、積は連結して縮約したものとする群である。

例えば、G が無限巡回群 ⟨x⟩ で、H が無限巡回群 ⟨y⟩ であれば、G ∗ H のすべての元は、x のベキと y のベキが交互に並ぶ積である。この場合、G ∗ H は x と y によって生成された自由群に同型である。

表示

$G=⟨S_G\mid R_G⟩$

を G の表示とし（ただし S_G は生成系で R_G は関係式の集合）、

$H=⟨S_H\mid R_H⟩$

を H の表示とする。このとき

$G*H=⟨S_G\cup S_H\mid R_G\cup R_H⟩$

となる。つまり、G ∗ H は G の生成元と H の生成元によって生成され、G の関係式と H の関係式を持つ（ここで表記の衝突は無くこれらは非交和であることを仮定している）。

例えば、G が位数 4 の巡回群

$G=⟨x\mid x^4=1⟩$

であり、H が位数 5 の巡回群

$H=⟨y\mid y^5=1⟩$

であれば、G ∗ H は無限群

$G*H=⟨x,y\mid x^4=y^5=1⟩$

である。

自由群には元の間の関係はないから、自由群の自由積は常に自由群である。とくに、

$F_m*F_n\cong F_{m+n}$

である、ただし F_n は n 個の生成元の自由群を表す。

一般化：融合積

テンプレート:Main より一般の構成として、同じ圏におけるテンプレート:仮リンクに対応する融合積 (テンプレート:En) がある。上で述べたと同じく テンプレート:Mvar と、さらに任意の群 テンプレート:Mvar からの二つの群準同型

$\phi :F\to G,\psi :F\to H$

が与えられたとき、自由積 テンプレート:Math を作り、各 テンプレート:Math に対して

$\phi (f)\psi (f{)}^{-1}=1$

なる形の関係式を添加する（暗黙的に テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar をそれらの自由積 テンプレート:Math に部分群として埋め込んで考えていることに注意）。即ち、左辺の形の元全てを含む テンプレート:Math のテンプレート:仮リンク を テンプレート:Mvar として、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar との（テンプレート:Mvar に関する）融合積とは、剰余群

$(G*H)/N$

のことを言う。ここでいう「融合」(amalgamation) というのは、テンプレート:Mvar の部分集合である テンプレート:Math と テンプレート:Mvar の部分集合である テンプレート:Math とを、元ごとに（つまり テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar ごとに）強制的に同一視する操作ということを意味している。この構成法は、二つの連結空間を弧状連結な部分空間（先の テンプレート:Mvar はこの部分空間の基本群の役割を果たすものとしてとれる）に沿って貼り合せた空間の基本群の計算に利用できる（テンプレート:仮リンクを参照）。融合積の部分群に関する詳細は テンプレート:Harv を参照のこと。

融合積およびそれと近しい概念であるテンプレート:仮リンクは、木に作用する群に関するバス–セール理論の基本的な構成要素である。

他の分野において

群以外の代数的構造、例えば体上の多元環において、自由積を同様に定義することができる。確率変数の（多元）環の自由積は、古典的な確率論における独立性の概念がデカルト積によって定義されるのと同様の意味において、テンプレート:仮リンク論におけるテンプレート:仮リンク の概念を定義する役割を果たす。

関連項目

• 群の直積
• 余積
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• 普遍性

参考文献

• テンプレート:Planetmath reference
• テンプレート:Planetmath reference

• Categories and Groupoids, by Philip Higgins

• A. Karrass and D. Solitar, The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup, Trans. Amer. Math. Soc. 150 (1970), 227–255