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数学において、位相空間の中あるいは上の対象の'''芽'''（め、が、{{lang-en-short|germ}}）とは、その対象に同種の対象を加えて作られた同値類のうち、局所的な性質が共通するように集めてきたものを呼ぶ概念である。特に、問題の対象として関数（あるいは[[写像]]）や部分集合を考えることが多い。このアイデアの特定の実行において、問題の集合あるいは写像は解析的あるいは滑らかのようないくつかの性質をもつが、一般にはこれは必要とされない（問題の写像や関数は連続である必要さえない）。しかしながら、対象の定義されている空間は、''局所的''という言葉がなんらかの意味をもつために位相空間である必要がある。

名前は[[層 (数学)|層]] ({{Lang|en|sheaf}}「穂束」) の[[メタファー]]の続きで ''[[:en:cereal germ|cereal germ]]''（胚芽） に由来している。穀物にとってそうであるように芽は（局所的に）関数の「心臓 (heart)」であるからだ。

== 正式な定義 ==

=== 基本的な定義 ===

位相空間 {{mvar|X}} の点 {{mvar|x}} と、2つの写像 {{math|''f'', ''g'': ''X'' &rarr; ''Y''}} （ここで {{mvar|Y}} は任意の集合）が与えられると、{{mvar|f}} と {{mvar|g}} は、{{mvar|x}} のある近傍 {{mvar|U}} が存在して {{mvar|U}} に制限したときに {{mvar|f}} と {{mvar|g}} が等しいとき、つまりすべての {{math|''u'' &isin; ''U''}} に対して {{math|1=''f''(''u'') = ''g''(''u'')}} であるときに、{{mvar|x}} で同じ芽 (germ) を持つという。同様に、{{mvar|S}} と {{mvar|T}} を {{mvar|X}} の任意の2つの部分集合とすると、{{mvar|x}} のある近傍 {{mvar|U}} が存在して {{math|1=''S'' &cap; ''U'' = ''T'' &cap; ''U''}} であるときに、それらは {{mvar|x}} で同じ芽を持つという。

{{mvar|x}} で同じ芽を持つことが（写像や集合の上で）[[同値関係]]であることを確かめることは容易である。その同値類を芽（それぞれ写像の芽あるいは集合の芽）と呼ぶ。同値関係は通常

:<math> f \sim_x g</math> あるいは <math>S \sim_x T</math>

と書かれる。{{mvar|X}} 上の写像 {{mvar|f}} が与えられると、その {{mvar|x}} での芽は通常 {{math|[''f'']<sub>''x''</sub>}} と表記される。同様に、集合 {{mvar|S}} の {{mvar|x}} における芽は {{math|[''S'']<sub>''x''</sub>}} と書かれる。したがって、
:<math>[f]_x = \{g\colon X\to Y \mid g \sim_x f\}</math>
である。

{{mvar|X}} の点 {{mvar|x}} を {{mvar|Y}} の点 {{mvar|y}} に写す写像の {{mvar|x}} における芽は
:<math>f \colon (X,x) \to (Y,y)</math> 
と表記される。この表記を用いるとき、{{mvar|f}} は任意の代表写像と同じ文字 {{mvar|f}} を使って写像の同値類全体として意図されている。

2つの集合が {{mvar|x}} おいて芽同値であることと、それらの[[指示関数|特性関数]]が {{mvar|x}} において芽同値であることは同値である
:<math>S\sim_x T \; \Longleftrightarrow \; \mathbf{1}_S \sim_x \mathbf{1}_T</math>
ことに注意する。

=== より一般に ===
写像は {{mvar|X}} 全体で定義されている必要はなく、特に同じ定義域を持つ必要もない。しかしながら、{{mvar|S}} と {{mvar|T}} を {{mvar|X}} の部分集合として {{mvar|f}} が定義域 {{mvar|S}} をもち {{mvar|g}} が定義域 {{mvar|T}} を持てば、{{mvar|f}} と {{mvar|g}} は次のとき {{mvar|X}} の点 {{mvar|x}} において同値な芽である。まず {{mvar|S}} と {{mvar|T}} は {{mvar|x}} において同値な芽である。{{math|1=''S'' &cap; ''U'' = ''T'' &cap; ''U''}} としよう。そしてさらに、{{math|1=''f''{{!}}{{sub|{''S'' &cap; ''V''{{)}}}} = ''g''{{!}}{{sub|{''T'' &cap; ''V''{{)}}}}}} が {{math|''x'' &isin; ''V'' &sub; ''U''}} なるよりより小さいある近傍 {{mvar|V}} に対して成り立つ。これは特に2つの設定において意味がある<!--relevant-->：
# {{mvar|f}} は {{mvar|X}} の部分多様体 {{mvar|V}} 上定義され、
# {{mvar|f}} は {{mvar|x}} においてある種の極をもち、したがって {{mvar|x}} において定義さえされていない。例えば有理関数では極が定義域から''外される''。<!--as for example a rational function, which would be defined ''off'' a subvariety-->

=== 基本的な性質 ===
{{mvar|f}} と {{mvar|g}} が {{mvar|x}} において同値な芽であれば、それらは連続性や微分可能性といったすべての局所的な性質を共有し、したがって''可微分あるいは解析的芽''などについて話すことは意味をなす： 部分集合に対しても同様である。芽の1つの代表が解析的集合であれば、すべての代表は少なくとも {{mvar|x}} のある近傍上で解析的である。

さらに、終域 {{mvar|Y}} がベクトル空間であれば、芽を足すことが意味をなす： {{math|[''f'']<sub>''x''</sub> + [''g'']<sub>''x''</sub>}} を定義するために、まず近傍 {{mvar|U}} と {{mvar|V}} 上でそれぞれ定義された代表元 {{mvar|f}} と {{mvar|g}} を取ると、{{math|[''f'']<sub>''x''</sub> + [''g'']<sub>''x''</sub>}} は写像 {{math|''f'' + ''g''}}（ここで {{math|''f'' + ''g''}} は {{math|''U'' &cap; ''V''}} 上定義されている）の {{mvar|x}} における芽である。（同様にしてより一般の線型結合を定義できる。）

{{mvar|X}} から {{mvar|Y}} への写像の {{mvar|x}} における芽全体の集合は離散位相を除いて有用な位相を持たない。それゆえ芽の収束列について話すことはほとんどあるいは全く意味がない。しかしながら、{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} が多様体であれば、{{仮リンク|ジェット (数学)|en|Jet (mathematics)|label=ジェット}}の空間 {{math|{{subsup|J|''x''|''k''}}(''X'', ''Y'')}} （写像（-芽）の {{mvar|x}} における有限項のテイラー級数）は、有限次元ベクトル空間と同一視できるので、確かに位相をもつ。

== 層との関係 ==
芽のアイデアは層と前層の背後にある。位相空間 {{mvar|X}} 上の[[アーベル群]]の[[層 (数学)|前層]] <math>\mathcal{F}</math> はアーベル群 <math>\mathcal{F}(U)</math> を {{mvar|X}} の各開集合 {{mvar|U}} に割り当てる。アーベル群の典型的な例は： {{mvar|U}} 上の実数値関数、{{mvar|U}} 上の微分形式、{{mvar|U}} 上のベクトル場、{{mvar|U}} 上の正則函数（{{mvar|X}} が複素平面のとき）、{{mvar|U}} 上の定数関数、{{mvar|U}} 上の微分作用素。

{{math|''V'' &sub; ''U''}} であれば、ある種の[[層 (数学)#前層|協調性条件]]を満たす制限写像 <math>\mathrm{res}_{VU}\colon\mathcal{F}(U)\to \mathcal{F}(V)</math> が存在する。固定された {{mvar|x}} に対して、元 <math>f\in\mathcal{F}(U)</math> と <math>g\in \mathcal{F}(V)</math> が {{mvar|x}} において同値であるとは、{{mvar|x}} の近傍 {{math|''W'' &sub; ''U'' &cap; ''V''}} が存在して {{math|1=res<sub>''WU''</sub>(''f'') = res<sub>''WV''</sub>(''g'')}} （どちらも <math>\mathcal{F}(W)</math> の元）ということである。同値類は前層 <math>\mathcal{F}</math> の {{mvar|x}} における{{仮リンク|茎 (数学)|label=茎|en|Stalk (sheaf)|preserve=1}} <math>\mathcal{F}_x</math> をなす。この同値関係は上で記述された芽同値の抽象化である。

== 例 ==
{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} が付加的な構造を持っていれば、{{mvar|X}} から {{mvar|Y}} へのすべての写像の集合の部分集合を、あるいはより一般に与えられた[[前層]] <math>\mathcal{F} </math> の部分[[前層]]と対応する芽を定義することができる： ''いくつかの顕著な例が続く''：

* {{mvar|X}}, {{mvar|Y}} がともに[[位相空間]]であれば、[[連続関数]]たちの部分集合
::<math>C^0(X,Y) \subset \operatorname{Hom}(X,Y)\,</math> 
:は'''連続関数芽''' (germs of continuous functions) を定義する。
* {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} が両方{{仮リンク|可微分構造|en|differentiable structure}}をもてば、{{mvar|k}} 回連続[[微分可能な関数]]全体の[[部分集合]]
::<math>C^k(X,Y) \subset \operatorname{Hom}(X,Y)\,</math> 
:[[滑らかな関数]]全体の[[部分集合]]
::<math>C^\infty(X,Y)=\bigcap_k C^k(X,Y)\subset \operatorname{Hom}(X,Y)\,</math> 
:[[解析関数]]全体の[[部分集合]]
::<math>C^\omega(X,Y)\subset \mbox{Hom}(X,Y)</math> 
:（ここで {{mvar|&omega;}} は無限を表す[[基数]]である。これは {{mvar|C{{sup|k}}}} や {{math|''C<sup>&infin;</sup>''}} とのアナロジーによる[[記号の濫用|記法の濫用]]である）を定義することができ、すると'''（有限回）微分可能な''' ((finitely) differentiable)、'''滑らかな''' (smooth)、'''解析関数芽''' (germs of analytic functions) の空間を構成することができる。

* {{mvar|X}}, {{mvar|Y}} が複素構造をもてば（たとえば複素[[ベクトル空間]]の[[部分集合]]であれば）、それらの間の[[正則関数]]を定義することができ、したがって'''正則関数芽''' (germs of holomorphic functions) の空間が構成できる。

* {{mvar|X}}, {{mvar|Y}} がある[[代数的構造]]をもてば、それらの間の[[多様体の射|正則]]（および[[有理関数|有理]]）関数を定義することができ、'''正則関数芽''' (germs of regular functions)（および同様に'''有理''' (rational) '''関数芽'''）を定義することができる。

=== 表記 ===
位相空間 {{mvar|X}} の点 {{mvar|x}} における {{mvar|X}} 上の層 <math>\mathcal{F}</math> の{{仮リンク|茎 (数学)|label=茎|en|Stalk (sheaf)|preserve=1}}は一般に <math>\mathcal{F}_x </math> と表記される。したがって芽は、様々な種類の関数の茎であるので、この型の表記ができる：
*<math>\mathcal{C}_x^0\,</math> は {{mvar|x}} における''連続関数芽の空間'' (space of germs of continuous functions) である。
*<math>\mathcal{C}_x^k\,</math> は各[[自然数]] {{mvar|k}} に対して {{mvar|x}} において ''{{mvar|k}} 回微分可能な関数芽の空間'' (space of germs of {{mvar|k}}-times-differentiable functions) である。
*<math>\mathcal{C}_x^\infty\,</math> は {{mvar|x}} において''無限回微分可能な（「滑らかな」）関数芽の空間'' (space of germs of infinitely differentiable ("smooth") functions) である。
*<math>\mathcal{C}_x^\omega\,</math> は {{mvar|x}} において''解析関数芽の空間'' (space of germs of analytic functions) である。
*<math>\mathcal{O}_x\,</math> は {{mvar|x}} において（複素幾何において）''正則関数芽の空間'' (space of germs of holomorphic functions) あるいは（代数幾何学において）''正則関数芽の空間'' (space of germs of regular functions) である。

集合と多様体の芽に対して、表記はそれほどよく確立されていない：文献で見つかる表記には例えば次のものがある：
*<math>\mathfrak{V}_x\,</math> は {{mvar|x}} において''解析的な多様体の芽の空間'' (space of germs of analytic varieties) である。
点 {{mvar|x}} が固定されていて知られているとき（例えば {{mvar|X}} が[[位相ベクトル空間]]で {{math|1=''x'' = 0}} のとき）、それは上の記号のそれぞれにおいて落とすことができる：また、{{math|1=dim ''X'' = ''n''}} のとき、記号の前のサブスクリプトを付け足すことができる。例として
*<math>{_n\mathcal{C}^0},{_n\mathcal{C}^k},{_n\mathcal{C}^\infty},{_n\mathcal{C}^\omega},{_n\mathcal{O}},{_n\mathfrak{V}}\,</math> は {{mvar|X}} が {{mvar|n}} 次元[[ベクトル空間]]で {{math|1=''x'' = 0}} のときの上で示された芽の空間である。

== 応用 ==
応用におけるキーワードは'''局所性''' (locality) である： ''点における関数のすべての{{仮リンク|局所的な性質|en|Local property}}はその芽を解析することで研究できる''。それらは[[テイラー級数]]の一般化であり、実際（微分可能な関数の）芽のテイラー級数が定義される：導関数を計算するのに局所的な情報しか必要ない。

芽は[[相空間]]の選ばれた点の近くの{{仮リンク|力学系 (定義)|label=力学系|en|Dynamical system (definition)}}の性質を決定する際に有用である： それらは{{仮リンク|特異点論|en|singularity theory}}と[[カタストロフィー理論]]において主要なツールの1つである。

考えられている位相空間が[[リーマン面]]あるいはより一般に{{仮リンク|解析的多様体|en|analytic variety}}のとき、それらの上の[[正則関数]]の芽を[[冪級数]]と見ることができ、したがって芽の集合を[[解析関数]]の[[解析接続]]と考えることができる。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|解析多様体|en|Analytic variety}}
* [[カタストロフィー理論]]
* {{仮リンク|貼り合わせの公理|en|Gluing axiom}}
* [[リーマン面]]
* [[層 (数学)|層]]
* {{仮リンク|茎 (層)|label=茎|en|Stalk (sheaf)|preserve=1}}

== 参考文献 ==
*{{cite book
 | author = [[Nicolas Bourbaki]]
 | title = General Topology. Chapters 1-4
 | publisher = Springer-Verlag
 | year = 1989
 | isbn = 3-540-64241-2
 | edition = paperback}}, chapter I, paragraph 6, subparagraph 10 "''Germs at a point''".
*{{cite book
 | author = Raghavan Narasimhan
 | title = Analysis on Real and Complex Manifolds
 | publisher = North-Holland Elsevier
 | year = 1973
 | isbn = 0-7204-2501-8
 | edition = 2nd}}, chapter 2, paragraph 2.1, "''Basic Definitions''".
*{{cite book
 | author = [[Robert C. Gunning]] and [[Hugo Rossi]]
 | title = Analytic Functions of Several Complex Variables
 | publisher = Prentice-Hall
 | year = 1965}}, chapter 2 "''Local Rings of Holomorphic Functions''", especially paragraph A "''The Elementary Properties of the Local Rings''" and paragraph E "''Germs of Varieties''".
* [[Ian R. Porteous]] (2001) ''Geometric Differentiation'', page 71, [[Cambridge University Press]] ISBN 0-521-00264-8 .
*{{cite book
 | author = Giuseppe Tallini
 | title = Varietà differenziabili e coomologia di De Rham (Differentiable manifolds and De Rham cohomology)
 | publisher = Edizioni Cremonese
 | year = 1973
 | isbn = 88-7083-413-1}}, paragraph 31, "''Germi di funzioni differenziabili in un punto {{mvar|P}} di {{mvar|V{{sub|n}}}} (Germs of differentiable functions at a point {{mvar|P}} of {{mvar|V{{sub|n}}}})''" (in Italian).

== 外部リンク ==
*{{SpringerEOM|title=Germ|last= Chirka|first= Evgeniǐ Mikhaǐlovich |author-link=|urlname=Germ}}
*{{PlanetMath|urlname=GermOfSmoothFunctions|title=Germ of smooth functions}}
*Dorota Mozyrska, Zbigniew Bartosiewicz"''[http://arxiv.org/abs/math.CV/0612355 Systems of germs and theorems of zeros in infinite-dimensional spaces]''", [http://arxiv.org arxiv.org] e-Prints server (Primary site at Cornell University). A research preprint dealing with germs of [[Analytic variety|analytic varieties]] in an infinite dimensional setting.

{{DEFAULTSORT:め}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:層の理論]]
[[Category:数学に関する記事]]