行列の階数のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年7月}}
[[線型代数学]]における[[行列 (数学)|行列]]の'''階数'''（かいすう、{{lang|en|''rank''}}; '''ランク'''）は、行列の最も基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す[[線型方程式系]]および[[線型変換]]がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある。

例えば、行列 {{mvar|A}} の階数 {{math|rank(''A'')}}（あるいは {{math|rk(''A'')}} または丸括弧を落として {{math|rank ''A''}}）は、{{mvar|A}} の[[列空間]]（列ベクトルの張るベクトル空間）の[[次元 (線型代数学)|次元]]<ref>Bourbaki, ''Algebra'', ch. II, §10.12, p. 359</ref>に等しく、また {{mvar|A}} の[[行空間]]の次元<ref name="mackiw">{{Citation | last= Mackiw | first= G. | title= A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix | year= 1995 | journal= [[Mathematics Magazine]] | volume= 68 | issue= 4 | ref= harv}}</ref>とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。

行列の階数の概念は[[ジェームス・ジョセフ・シルベスター]]が考えた<ref>{{Cite |和書 | author = 黒木哲徳 | title = なっとくする数学記号 | date = 2021 | pages = 160 | publisher = 講談社 | isbn = 9784065225509 | series = ブルーバックス | ref = harv }}</ref>。

== 定義 ==
任意の行列 {{mvar|A}} について、以下はいずれも同値である。
*  {{mvar|A}} の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（{{mvar|A}} の列空間の次元）
*  {{mvar|A}} の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（{{mvar|A}} の行空間の次元）
*  {{mvar|A}} に[[行列の基本変形|基本変形]]を施して[[階段行列]] {{mvar|B}} を得たとする。このときの {{mvar|B}} の零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される）
* 表現行列 {{mvar|A}} の[[線型写像]]の像空間の[[次元]]。詳しくは[[#線型写像の階数]]を参照。
*  {{mvar|A}} の 0 でないような[[行列式#小行列式|小行列式]]の最大サイズ
*  {{mvar|A}} の[[特異値]]の数

文献により、上記の条件のいずれかを以って行列 {{mvar|A}} の階数は定義される。

=== 注意 ===
いま {{mvar|A}} の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、[[線型代数学の基本定理|線型代数学における基本的な結果]]の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に {{mvar|A}} の階数と呼ぶことができる。これについて、{{harvtxt|Wardlaw|2005}}<ref name="wardlaw">{{Citation | last= Wardlaw | first= William P. | title= Row Rank Equals Column Rank | year= 2005 | journal= [[Mathematics Magazine]] | volume= 78 | issue= 4 | doi= 10.1080/0025570X.2005.11953349 | ref= harv}}</ref> はベクトルの[[線型結合]]の基本性質に基づく四文証明を与えた（これは任意の[[可換体|体]]上で有効である）。また、{{harvtxt|Mackiw|1995}} <ref name="mackiw" />は[[実数]]体上の行列に対して有効な、[[直交|直交性]]を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書 {{harvtxt|Banerjee|Roy|2014}} <ref name="banerjee-roy">{{Citation | last = Banerjee | first = Sudipto | last2 = Roy | first2 = Anindya | date = 2014 | title = Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics | series = Texts in Statistical Science | publisher = Chapman and Hall/CRC | edition =  1st | isbn =  978-1420095388 | ref= harv}}</ref>に出ている。

== 性質 ==
{{mvar|A}} を {{math|''m'' × ''n''}} 行列とする。また、 {{mvar|f}} を表現行列 {{mvar|A}} の線型写像とする。
=== 一般の体上 ===
* {{math|''m'' × ''n''}} 行列の階数は[[非負整数]]で、{{mvar|m, n}} の何れも超えない。すなわち {{math|rank(''A'') &le; min(''m'', ''n'')}} が成り立つ。特に {{math|1=rank(''A'') = min(''m'', ''n'')}} のとき、{{mvar|A}} は'''最大階数'''（''full rank''; '''フルランク'''; '''充足階数'''、完全階数）を持つとかフルランク行列などといい、さもなくば{{mvar|A}} は{{ill2|階数落ち|en|rank deficient|preserve=1}} (rank deficient; 階数不足) であるという。  
* {{mvar|A}} が[[零行列]]のときかつその時に限り {{math|1=rank(''A'') = 0}}.
* {{mvar|f}} が[[単射]]となるための必要十分条件は、{{math|1=rank(''A'') = ''n''}}（これを {{mvar|A}} は'''列充足階数'''を持つという）となることである。
* {{mvar|f}} が[[全射]]となるための必要十分条件は、{{math|1=rank(''A'') = ''m''}} となる（{{mvar|A}} が'''行充足階数'''を持つ）ことである。
* {{mvar|A}} が[[正方行列]]（つまり {{math|1=''m'' = ''n''}}）のとき、{{mvar|A}} が[[正則行列|正則]]であるための必要十分条件は、{{mvar|1=rank(''A'') = ''n''}}（{{mvar|A}} が充足階数）となることである。
* {{mvar|B}} を任意の {{math|''n'' × ''k''}} 行列として {{math|rank(''AB'') &le; min(rank(''A''), rank(''B''))}} が成り立つ。
** {{mvar|B}} が行充足階数 {{math|''n'' × ''k''}} 行列ならば {{math|1=rank(''AB'') = rank(''A'')}} が成り立つ。
** {{mvar|C}} が列充足階数 {{math|''l'' × ''m''}} 行列ならば {{math|1=rank(''CA'') = rank(''A'')}} が成り立つ。

* {{math|1=rank(''A'') = ''r''}} となるための必要十分条件は、{{math|''m'' × ''m''}} 正則行列 {{mvar|X}} と {{math|''n'' × ''n''}} 正則行列 {{mvar|Y}} が存在して <math display="block">XAY =\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}</math> が成立することである。ただし {{mvar|I{{sub|r}}}} は {{math|''r'' × ''r''}} [[単位行列]]である。右辺の行列は {{mvar|A}} の'''階数標準形'''と呼ばれる。
* {{math|1=rank(''A'') = rank(''A''{{sup|⊤}})}}（ {{math|''A''{{sup|⊤}}}} は[[転置行列]]）
* [[階数・退化次数の定理]]が成立

; [[ジェームス・ジョセフ・シルベスター|シルベスター]]の階数不等式: {{math|''m'' × ''n''}} 行列 {{mvar|A}} と {{math|''n'' × ''k''}} 行列 {{mvar|B}} に対し <math display="block">
  \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B)
</math> が成り立つ。{{efn|証明: 階数–退化次数定理を不等式 <math display="block">\dim\ker(AB) \le \dim\ker(A) + \dim\ker(B)</math> に適用すればよい}}
; フロベニウスの不等式: 行列の積 {{mvar|A, ABC, BC}} がいずれも定義されるとき、<math display="block">
  \operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC)
</math> が成り立つ。{{efn|証明: 写像 <math display="block">C\colon \ker(ABC) / \ker(BC) \to \ker(AB) / \ker(B)</math> は矛盾なく定義されて、単射である。したがって退化次数に対する不等式が得られるが、それを階数–退化次数定理で階数に関するものへ読み替えればよい。あるいは別法として、任意の部分線型空間 {{mvar|M}} に対し {{math|dim(''AM'') ≤ dim(''M'')}} が成り立つから、これを {{mvar|BC}} の像の {{mvar|B}} の像における（直交）補空間の定める部分空間（次元は {{math|rank(''B'') &minus; rank(''BC'')}}）を {{mvar|M}} として適用する。その {{mvar|A}} による像は次元 {{math|rank(''AB'') – rank(''ABC'')}} である。}}
; 劣加法性: {{mvar|A, B}} は同じ型の行列として <math display="block">\operatorname{rank}(A+ B) \le \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)</math> が成り立つ。この帰結として、{{nowrap|階数 {{mvar|k}}}} の行列は{{nowrap|階数 {{math|1}}}} の行列 {{mvar|k}} 個の和に書くことができ、また {{mvar|k}} 個より少ない{{nowrap|階数 {{math|1}}}}-行列の和には書けない。

=== 特定の体上 ===
* {{mvar|A}} が[[実数]]体上の行列であるとき、{{mvar|A}} の階数は対応する[[グラム行列]]の階数に等しい。すなわち、実行列 {{mvar|A}} に対し <math display="block">\operatorname{rank}(A^{\top}A) = \operatorname{rank}(AA^{\top}) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^{\top})</math> が成り立つ。これは各々の[[核空間]]が等しいことを見れば示される。グラム行列の核は {{math|1=''A''{{sup|⊤}}''Ax'' = 0}} となるベクトル {{mvar|x}} からなる。このときさらに {{math|1=0 = ''x''{{sup|⊤}}''A''{{sup|⊤}}''Ax'' = {{abs|''Ax''}}{{exp|2}}}} も成り立つ<ref>{{cite book| last = Mirsky| first = Leonid| title = An introduction to linear algebra| year = 1955| publisher = Dover Publications| isbn = 978-0-486-66434-7 }}</ref>。
* {{mvar|A}} が[[複素数]]体上の行列であるとき、{{mvar|A}} の複素共軛行列を {{mvar|{{overline|A}}}}, [[随伴行列|共軛転置行列]]を {{mvar|A*}} と書けば、<math display="block">
  \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\overline{A}) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A^*) = \operatorname{rank}(A^*A) = \operatorname{rank}(AA^*)
</math> が成り立つ。

== 階数の計算 ==
例えば、行列
: <math>
M = 
\begin{bmatrix}
 4 & 2 & 1 \\
 5 & 4 & 1 \\
 1 & 2 & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
は、[[行列の基本変形|基本変形]]を行うことによって
: <math>
M \iff 
\begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3 \\
 0 & 4 & 5 \\
 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
</math>
と書けるから、{{mvar|M}} の階数は {{math|1=rank ''M'' = 2}} である。実際、[第 2 行] = [第 1 行] + [第 3 行] であるから、2 行目の行ベクトルは[[線型独立]]でない。ここで、1 行目と 3行目は明らかに線型独立であるから、{{math|1=rank ''M'' = 2}} である。

[[浮動小数点]]を用いたコンピューター上の[[数値計算]]においては、この基本変形を用いたり[[LU分解]]を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、[[特異値分解]]（SVD）や[[QR分解]]を用いて求められる。

== 線型写像の階数 ==
{{mvar|V, W}} をベクトル空間とし、線型写像 {{math|''f'': ''V'' &rarr; ''W''}} が与えられたとき、{{mvar|f}} の像  {{math|''f''(''V'')}} の次元を線型写像 {{mvar|f}} の'''階数'''と呼び、{{math|rk ''f''}} や {{math|rank ''f''}} などで表す。{{mvar|V}} や {{mvar|W}} は一般に無限次元であっても、像の次元 {{math|dim ''f''(''V'')}} が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに[[有限階作用素|階数有限なる線型写像]]には[[跡 (線型代数学)|トレース]]が定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。

{{mvar|V}} や {{mvar|W}} が有限次元ならば、行列表現によって {{mvar|f}} は表現行列 {{mvar|A{{sub|f}}}} の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間には {{math|1=rank ''f'' = rank ''A{{sub|f}}''}} という関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列 {{mvar|A{{sub|f}}}} のとり方に依らない。

ベクトル空間 {{mvar|V, W}} に対して {{mvar|V}} が {{mvar|n}} 次元とすれば、線型写像 {{math|''f'': ''V'' &rarr; ''W''}} の階数は  {{mvar|n}}  以下である。実際に、{{math|1=rank ''f'' = ''n''}} となるとき、線型写像 {{mvar|f}} は'''非退化'''（ひたいか、{{en|''non-degenerate'', ''full rank''}}）であるという。そうでないときには、像 {{math|''f''(''V'')}} は {{mvar|f}} で {{math|0}} へ写される元の分だけ「つぶれている」と考えられ、線型写像 {{mvar|f}} の[[零空間|核]]
:<math>\ker f := \{ v \in V \mid f(v)=0\} </math>
の次元 {{math|dim ker ''f''}} を {{mvar|f}} の'''退化次数'''と呼ぶ。{{mvar|f}} の退化次数を {{math|nl ''f''}} や {{math|null ''f''}} などで表すことがある。次の公式
:<math> \dim V = \operatorname{rank} f + \operatorname{null}\, f. </math>
が成立し、'''階数と退化次数の関係式'''あるいは簡単に'''[[階数・退化次数の定理|階数・退化次数公式]]'''などと呼ばれる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist|30em}}
=== 出典 ===
{{reflist|30em}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1188|行列のランク(rank)の８通りの同値な定義・性質}}
* {{MathWorld|urlname=MatrixRank|title=Matrix Rank}}
* {{MathWorld|urlname=Nullity|title=Nullity|author=Barile, Margherita.}}
* {{PlanetMath|urlname=RankOfAMatrix|title=rank of a matrix}}
* {{PlanetMath|urlname=RankOfALinearMapping|title=rank of a linear mapping}}
* {{PlanetMath|urlname=ElementaryMatrixOperationsAsRankPreservingOperations|title=elementary matrix operations as rank preserving operations}}
* {{PlanetMath|urlname=DeterminingRankOfMatrix|title=determining rank of matrix}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Rank_(Linear_Algebra)|title=Definition:Rank (Linear Algebra)}}

{{線形代数}}
{{DEFAULTSORT:きようれつのかいすう}}
[[Category:行列|かいすう]]
[[Category:数学に関する記事]]