行列ノルムのソースを表示

[[線型代数学]]における'''行列ノルム'''（ぎょうれつノルム、{{lang-en-short|''matrix norm''}}）は、[[ノルム#有限次元ベクトルのノルム|ベクトルのノルム]]を[[行列]]に対し自然に一般化したものである。

== 性質 ==
以下では[[体 (数学)|体]] {{mathbf|K}} を[[実数]]体 {{mathbf|R}} または[[複素数]]体 {{mathbf|C}} のいずれかを指すものとして用いる。また、{{math|'''K'''{{sup|''m''×''n''}}}} を、{{mathbf|K}} の[[元 (数学)|元]]を成分に持つ {{mvar|m}} 行 {{mvar|n}} 列の矩形行列の全体が、通常の和とスカラー倍に関してなす[[ベクトル空間]]とする。{{math|'''K'''{{sup|''m''×''n''}}}} 上の行列のノルムはベクトルとしてのノルムである。すなわち、行列 {{mvar|A}} のノルムを {{math|{{norm|''A''}}}} で表せば
# '''正定値性'''：{{math2|{{norm|''A''}} ≥ 0}} かつ等号成立は {{math2|1=''A'' = ''O''}} と同値
# '''斉次性'''：{{math2|''α'' ∈ ''K'', ''A'' ∈ '''K'''{{sup|''m''×''n''}}}} ならば {{math2|1={{norm|''αA''}} = {{abs|''α''}}{{norm|''A''}}}}
# '''劣加法性'''：{{math2|''A'', ''B'' ∈ '''K'''{{sup|''m''×''n''}}}} ならば {{math2|{{norm|''A'' + ''B''}} ≤ {{norm|''A''}} + {{norm|''B''}}}}
が全て満たされる。

[[正方行列]] ({{math2|1=''m'' = ''n''}}) に関して、以下に挙げる条件を課す場合がある。

#{{anchors|劣乗法的|劣乗法性}} '''劣乗法性''': {{math2|{{norm|''AB''}} ≤ {{norm|''A''}}{{norm|''B''}}}}
# '''{{math|&lowast;}}-性''': {{math2|1={{norm|''A''}} = {{norm|''A''{{sup|&lowast;}}}}}} 
ここで {{math|''A''{{sup|&lowast;}}}} は複素行列 {{mvar|A}} の[[随伴行列|随伴]]を表す。{{mvar|A}} が実である場合、その随伴は {{math|''A''{{sup|&lowast;}}}} は[[転置行列|転置]] {{math|''A''{{mtop|.}}}} に一致する。

劣乗法性を持つノルムを'''劣乗法的ノルム''' {{lang|en|(sub-multiplicative norm)}} と呼ぶ<ref group="注">文献によっては劣乗法的なものに限って行列ノルムと呼ぶものもある。</ref>。劣乗法的ノルムを備えた {{mvar|n}} 次の正方行列全体の成す[[集合]]は[[バナッハ代数]]の一例である。

== {{anchors|誘導ノルム}}誘導されたノルム ==
2つのベクトル空間 {{math2|'''K'''{{sup|''m''}}, '''K'''{{sup|''n''}}}} におけるベクトルのノルムが与えられているとき、それらに対応して {{math2|''m'' × ''n''}} 行列の空間 {{math|'''K'''{{sup|''m''×''n''}}}} 上の行列ノルムを与えることができる。
: <math>\begin{align}
 \|A\| &= \max_{x\in \mathbb{K}^n\atop \|x\|_{\mathbb{K}^n}\le 1} \|Ax\|_{\mathbb{K}^m} \\[8pt]
       &= \max_{x\in \mathbb{K}^n\atop \|x\|_{\mathbb{K}^n} = 1} \|Ax\|_{\mathbb{K}^m} \\
       &= \max_{\ x\in \mathbb{K}^n\atop x\ne 0} \frac{\|Ax\|_{\mathbb{K}^m}}{\|x\|_{\mathbb{K}^n}}
\end{align}</math>
この行列ノルムは'''誘導ノルム''' {{en|(induced norm)}} あるいは'''[[ノルム#無限次元ベクトル空間のノルム|作用素ノルム]]''' {{en|(operator norm)}} と呼ばれる。{{math|1=''m'' = ''n''}} で行列の定める[[線型写像]]の定義域と値域で同じノルムを用いている場合、誘導される作用素ノルムは[[#劣乗法的|劣乗法的]]である。ベクトルの {{mvar|p}} ノルムに対応して、作用素ノルム
: <math>\| A\|_p = \max_{x \ne 0} \frac{ \| Ax\|_p}{\| x\|_p}</math>

が得られる<ref group="注" name="notation">同じ記法 {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|''p''}}}} を用いるため紛らわしいが、[[#誘導ノルム|誘導ノルム]]と[[#成分ごとのノルム|成分ごとのノルム]]、[[#シャッテンノルム|シャッテン {{mvar|p}} ノルム]]はそれぞれ異なるノルムである。</ref>。特に {{math2|1=''p'' = 1}} と {{math2|1=''p'' = ∞}} に対しては
: <math>\begin{alignat}{2} 
  &\| A\|_1      &= &\max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^m |a_{ij}|, \\
  &\| A\|_\infty &= &\max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|
\end{alignat}</math>
と計算することができる（前者は各列に対する「成分の絶対値の和」の最大の値で、後者は各行に対する同様の和の最大の値である）。

{{anchors|スペクトルノルム}}
特に {{math2|1=''p'' = 2}} かつ {{math2|1=''m'' = ''n''}}, つまり正方行列に対して[[ユークリッドノルム]]を考えた場合には、誘導された行列ノルムは'''スペクトルノルム''' {{en|(spectral norm)}} になる。行列 {{mvar|A}} のスペクトルノルムとは {{mvar|A}} の最大の[[特異値]]、別な言い方をすれば半正定値行列 {{math|''A''{{sup|&lowast;}}&thinsp;''A''}} の最大[[固有値]]の平方根
: <math>\| A\|_2 = \sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^* A)} = \sigma_\text{max}(A)</math>
で与えられる。ここで {{math|''A''{{sup|&lowast;}}}} は複素行列 {{mvar|A}} の[[随伴行列]]を表す。

{{math|''ρ''(''A'')}} を {{mvar|A}} の[[スペクトル半径]]とすると、誘導ノルムはいずれも不等式
: <math>\| A \| \ge \rho(A)</math>
を満たす（スペクトル半径は下界を与えている）。つまり {{math|''ρ''(''A'')}} は {{mvar|A}} の誘導ノルム全体を動かしたときの[[下限]]である。さらに言えば、
:<math>\lim_{r\to\infty}\|A^r\|^{1/r}=\rho(A)</math>
という[[スペクトル半径公式]]も得られる。

== 成分ごとのノルム ==
行列の成分ごとのノルムとは、{{mvar|m}} 行 {{mvar|n}} 列の行列を {{mvar|mn}} 成分のベクトルと見なして、ベクトルの通常のノルムを考えたものである。例えばベクトルの {{mvar|p}} ノルムを利用すれば
: <math>\| A\|_{p} = \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n |a_{ij}|^p \right)^{\!\!1/p}</math>
というノルムが得られる<ref group="注" name="notation" />。特別の場合として、{{math2|1=''p'' = 2}} のときはフロベニウスノルムが、{{math|1=''p'' = ∞}} のときは最大値ノルムがそれぞれ得られる。

=== フロベニウスノルム ===
{{math2|1=''p'' = 2}} の場合は'''フロベニウスノルム''' {{en|(Frobenius norm)}} または'''[[ヒルベルト＝シュミット作用素|ヒルベルト＝シュミットノルム]]''' {{en|(Hilbert&ndash;Schmidt norm)}} と呼ばれる（後者は普通、[[ヒルベルト空間]]の[[作用素 (関数解析学)|作用素]]に限定して使われる）。
このノルムはいくつか異なる定義があるが、
: <math>\|A\|_F = \sqrt{\textstyle\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n |a_{ij}|^2} = \sqrt{\operatorname{tr}(A^* A)} = \sqrt{\textstyle\sum\limits_{i=1}^{\min\{m,n\}}\!\!\!\! {\sigma_i}^2}</math>
のように書くことができる。ここで {{math|''A''{{sup|&lowast;}}}} は行列 ''A'' の[[随伴行列|随伴]]、{{mvar|σ{{sub|i}}}} は行列 {{mvar|A}} の[[特異値]]、{{math|tr}} は行列の[[跡 (線型代数学)|トレース]]を表わす。フロベニウスノルムは {{math|'''K'''{{sup|''n''}}}} 上のユークリッドノルムと似て、行列の空間上の（行列を単にベクトルと見なした）[[標準内積]]から得られるノルムになっている。

フロベニウスノルムは[[#劣乗法的|劣乗法的]]である。[[数値線形代数|数値線型代数学]]において有益であり、またフロベニウスノルムは誘導ノルムより計算が容易なことが多い。

=== 最大ノルム ===
'''最大ノルム''' {{en|(max norm)}} は {{math2|1=''p'' = ∞}} に対する成分ごとのノルムとして
: <math>\|A\|_{\max}=\max\{|a_{ij}|\}</math>
で定義される。これは[[#劣乗法的|劣乗法的ノルム]]ではない。

== シャッテンノルム ==
{{main|シャッテンノルム}}
'''シャッテンノルム''' {{en|(Schatten norm)}} は行列の[[特異値]]を並べたベクトルに対するノルムとして得られる。ベクトルノルムに {{mvar|p}} ノルムを用いるものをシャッテン {{mvar|p}} ノルムと呼ぶ。行列 {{mvar|A}} のシャッテン ''p''-ノルムは、{{mvar|A}} の特異値を {{mvar|σ{{sub|i}}}} で表せば、以下のように定義される<ref group="注" name="notation" />。
: <math>\|A\|_p = \left( \sum_{i=1}^{\min\{m,n\}}\!\!\!\! \sigma_i^p \right)^{\!\!1/p}</math>
[[シャッテンノルム]]はいずれの {{mvar|p}} に対しても[[#劣乗法的|劣乗法的]]である。また、任意の行列 {{mvar|A}} の[[ユニタリ変換]]に対してシャッテンノルムは不変であり<ref group="注">ユニタリ変換に対する不変性は'''ユニタリ不変性''' {{en|(unitary invariance)}} と呼ばれる。</ref>、任意の[[ユニタリ行列]] {{math2|''U'', ''V''}} 対して {{math2|1={{norm|''UAV''}} = {{norm|''A''}}}} が成り立つ。

{{math2|1=''p'' = 1, 2, ∞}} の場合がよく知られており、{{math|1=''p'' = 2}} の場合は[[#フロベニウスノルム|フロベニウスノルム]]が得られる。{{math2|1=''p'' = ∞}} は[[#スペクトルノルム|スペクトルノルム]]、すなわちベクトルの 2 ノルムから[[#誘導ノルム|誘導される行列ノルム]]である。

=== トレースノルム ===
{{math2|1=''p'' = 1}} からは核型ノルム {{lang|en|(nuclear norm)}}、トレースノルム、あるいは{{zh|樊畿}}<ref group="注">正しくは{{zh|樊}}<span style="vertical-align:10%">[[File:Zh cj-gviw.svg|15px]]</span>（樊と土偏に畿、U+302C0）と書くが、表示できる環境が少ないため{{zh|畿}}の字を代用する。中国系アメリカ人数学者 [[:en:Ky Fan|Ky Fan]] にちなんだ呼称</ref>{{en|(Ky Fan)}} の {{mvar|n}} ノルムとして知られるノルム
: <math>\|A\|_{\text{trace}} =\operatorname{tr}(\sqrt{A^*A})= \!\!\!\sum_{i=1}^{\min\{m,n\}} \!\!\!\!\sigma_i</math>
が定まる。ここで行列 {{math|''A''{{sup|&lowast;}}&thinsp;''A''}} の平方根は {{math2|1=''BB'' = ''A''{{sup|&lowast;}}&thinsp;''A''}} を満たす行列 {{mvar|B}} の意味で用いている。

== 両立するノルム ==
空間 {{math|'''K'''{{sup|''m''×''n''}}}} 上の行列ノルム {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|''ab''}}}} は {{math|'''K'''{{sup|''n''}}}} 上のノルム {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|''a''}}}} と {{math|'''K'''{{sup|''m''}}}} 上のノルム {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|''b''}}}} に対して
: <math>\|Ax\|_b \leq \|A\|_{ab} \|x\|_a</math>
を満たすとき、{{math|{{norm|&bull;}}{{sub|''a''}}, {{norm|&bull;}}{{sub|''b''}}}} と'''両立する''' {{lang|en|(consistent)}} という。{{math2|{{norm|&bull;}}{{sub|''a''}}, {{norm|&bull;}}{{sub|''b''}}}} から[[#誘導ノルム|誘導される]]作用素ノルムは、その定義から明らかに {{math2|{{norm|&bull;}}{{sub|''a''}}, {{norm|&bull;}}{{sub|''b''}}}} と両立する。誘導ノルムをベクトルのノルムと両立する行列ノルムにまで広げても、スペクトル半径が下限を与えるという命題はなお正しい。

== ノルムの同値性 ==
有限次元ベクトル空間 {{math|'''K'''{{sup|''m''×''n''}}}} の任意の2つの（ベクトルとしての）ノルム {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|''α''}}, {{norm|&bull;}}{{sub|''β''}}}} に対して、適当な定数 {{math2|''r'', ''s'' > 0}} をとれば
: <math>r\left\|A\right\|_\alpha\leq\left\|A\right\|_\beta\leq s\left\|A\right\|_\alpha</math>
が任意の行列 {{math2|''A'' ∈ '''K'''{{sup|''m''×''n''}}}} に対して成立するようにできる。言い換えれば、このようなノルムはどれも'''同値''' {{lang|en|(equivalent)}} なノルムであり、空間 {{math|'''K'''{{sup|''m''×''n''}}}} に同じ[[位相空間|位相]]を誘導する。

さらに実行列 {{math2|''A'' ∈ '''R'''{{sup|''n''×''n''}}}} の場合、任意のノルム {{math|{{norm|&bull;}}}} に対し一意な正の定数 {{mvar|k}} が存在して、{{math|''k''{{norm|''A''}}}} が（[[#劣乗法的|劣乗法的な]]）行列ノルムになる。

行列ノルム {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|''p''}}}} は、他のいかなる行列ノルム  {{math|{{norm|&bull;}}{{sub|''q''}}}} も {{math2|{{norm|&bull;}}{{sub|''q''}} ≤ {{norm|&bull;}}{{sub|''p''}}}} を満たさないとき、'''極小'''（{{lang-en-short|minimal}}）であると呼ばれる。

=== 同値なノルムの例 ===
実行列 {{math2|''A'' ∈ '''R'''{{sup|''m''×''n''}}}} に対し、以下の不等式が成立する{{sfn|Golub|Van Loan|1996|pp=56-57}}{{sfn|Horn|Johnson|1985|loc=Chapter 5}}：
*<math>\|A\|_2\le\|A\|_F\le\sqrt{r}\|A\|_2</math>
*<math>\|A\|_F\le\|A\|_*\le\sqrt{r}\|A\|_F</math>
*<math>\|A\|_{\max} \le\|A\|_2\le\sqrt{mn}\|A\|_{\max}</math>
*<math>\frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_\infty\le\|A\|_2\le\sqrt{m}\|A\|_\infty</math>
*<math>\frac{1}{\sqrt{m}}\|A\|_1\le\|A\|_2\le\sqrt{n}\|A\|_1</math>
ここで {{mvar|r}} は行列 {{mvar|A}} のランクである。

他にも次のような関係は有用である：
*<math>\|A\|_2\le\sqrt{\|A\|_1\|A\|_\infty}</math>
これは[[ヘルダーの不等式]]の特殊例である。

== 注釈 ==
{{Reflist|group="注"}}

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|last1=Golub|first1=Gene|last2=Van Loan|first2=Charles F.|date=1996|title=Matrix Computations|edition=3rd|location=Baltimore|publisher=The Johns Hopkins University Press|isbn=0-8018-5413-X|ref=harv}}
* {{Cite book|first1=Roger|last1=Horn|first2=Charles|last2=Johnson|title=Matrix Analysis|publisher=Cambridge University Press|date=1985|isbn=0-521-38632-2|ref=harv}}<!--
* L. Thomas, [http://www.cs.ut.ee/~toomas_l/linalg/lin1/node18.html Norms and Condition Numbers of a Matrix]{{en icon}}-->
* {{Cite book|first=James W.|last=Demmel|title=Applied Numerical Linear Algebra|section=1.7|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)|year=1997|isbn=0-89871-389-7|ref=harv}}<!--
* Douglas W. Harder, Matrix Norms and Condition Numbers-->
* {{Cite book|first=Carl D.|last=Meyer|title=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)|year=2000|url= http://www.matrixanalysis.com|ref=harv}}
* {{Citation|first=John|last=Watrous|title=Theory of Quantum Information|year=2008|accessdate=2016-05-28|url=https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/LectureNotes.html|chapter=2.4 Norms of operators|publisher=University of Waterloo|ref=harv}}

== 関連項目 ==
* [[ノルム]] - [[作用素ノルム]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1284|行列のフロベニウスノルムとその性質}}

{{DEFAULTSORT:きようれつのるむ}}
[[Category:行列|のるむ]]
[[Category:ノルム]]
[[Category:数学に関する記事]]