行列指数関数のソースを表示

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[[線型代数学]]における'''行列の指数関数'''（ぎょうれつのしすうかんすう、{{lang-en|matrix exponential}}; 行列乗）は、[[正方行列]]に対して定義される[[行列値関数]]で、通常の（[[実数|実]]または[[複素数|複素]]変数の）[[指数関数]]に対応するものである。より抽象的には、行列[[リー群]]とその行列[[リー代数]]の間の対応関係（[[リー環の指数写像|指数写像]]）を行列の指数函数が記述する。

{{mvar|n}}次 [[実数|実]]または[[複素数|複素]][[正方行列]] {{mvar|X}} の指数関数 {{mvar|e{{sup|X}}}} または {{math|exp(''X'')}} は、[[冪級数]]
:<math>e^X = \textstyle\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{1}{k!}X^k</math>
で定義される {{mvar|n}}次正方行列である。この級数は任意の {{mvar|X}} に対して収束するから、行列 {{mvar|X}} の指数関数は [[well-defined]] である。

{{mvar|X}} が {{math|1}}次正方行列のとき、{{mvar|X}}乗 {{mvar|e{{sup|X}}}} は {{math|1}}次正方行列であり、その唯一の成分は {{mvar|X}} の唯一の成分に対する通常の指数関数に一致する。これらはしばしば同一視される。この意味において行列の指数函数は、通常の指数函数の一般化である。

== 性質 ==
{{math2|''X'', ''Y''}} を {{mvar|n}}次複素正方行列、{{math2|''a'', ''b''}} を複素数とし、{{mvar|n}}次[[単位行列]]を {{mvar|I}}、{{mvar|n}}次正方[[零行列]]を {{mvar|O}} でそれぞれ表すことにする。また、{{mvar|X}} の[[転置行列|転置]]を {{math|''X''{{sup|T}}}}、[[随伴行列|共役転置]]を {{math|''X''{{sup|*}}}} と表すことにする。行列の指数関数は以下の性質を満たす：
* {{math2|''e{{sup|O}}'' {{=}} ''I''}}
* {{math2|''e{{sup|aX}}e{{sup|bX}}'' {{=}} ''e''{{sup|(''a''+''b'')''X''}}}}
* {{math2|''e{{sup|X}}e''{{sup|&minus;''X''}} {{=}} ''I''}}
* {{math2|''XY'' {{=}} ''YX''}} ならば {{math2|''e{{sup|X}}e{{sup|Y}}'' {{=}} ''e{{sup|Y}}e{{sup|X}}'' {{=}} ''e''{{sup|(''X''+''Y'')}}.}}
* {{mvar|Y}} が[[正則行列|正則]]ならば {{math2|''e''{{sup|''YXY''{{sup|&minus;1}}}} {{=}} ''Ye{{sup|X}}Y''{{sup|&minus;1}}.}}
* {{math2|exp(''X''{{sup|T}}) {{=}} (exp ''X''){{sup|T}}}}. このことから {{mvar|X}} が[[対称行列]]ならばその行列乗 {{mvar|e{{sup|X}}}} もまた対称であり、{{mvar|X}} が[[交代行列|歪対称]]であるなら {{mvar|e{{sup|X}}}} は[[直交行列]]になる。
* {{math|exp(''X''{{sup|*}}) {{=}} (exp ''X''){{sup|*}}}}. このことから {{mvar|X}} が[[エルミート行列|エルミート]]ならば {{mvar|e{{sup|X}}}} もまたエルミートであり、{{mvar|X}} が[[歪エルミート行列|歪エルミート]]ならば {{mvar|e{{sup|X}}}} は[[ユニタリ行列]]になる。

=== 線型微分方程式 ===
{{main|{{仮リンク|行列微分方程式|en|matrix differential equation}}}}
行列の指数関数が重要であることの一つの理由として、[[常微分方程式]]系の解を求める際に使うことができることが挙げられる。以下の方程式
:<math>\frac{d}{dt} y(t) = Ay(t), \quad y(0) = y_0</math>
の解は、{{mvar|A}} を定行列として、次のように与えられる。
:<math>y(t) = e^{At} y_0</math>
行列の指数関数はまた以下の様な非等質微分方程式に対しても有効である。
:<math>\frac{d}{dt} y(t) = Ay(t) + z(t), \quad y(0) = y_0</math>

{{mvar|A'}} が定行列でないとき、
:<math>\frac{d}{dt} y(t) = A(t) \, y(t), \quad y(0) = y_0</math>
の形の微分方程式は解を閉じた形の式として陽に表すことはできないが、{{仮リンク|マグヌス級数|en|Magnus expansion}}が無限和の形で解を与える。

=== 和に対する指数函数 ===
実数（あるいはスカラー）{{math2|''x'', ''y''}} について、通常の指数関数が {{math2|''e''{{sup|''x''+''y''}} {{=}} ''e{{sup|x}}e{{sup|y}}''}} を満たすことはよく知られている。同じことは[[交換法則|可換]]な行列に対しても成り立つ。即ち、行列 {{math2|''X'', ''Y''}} が交換可能（{{math|''XY'' {{=}} ''YX''}}）ならば
:<math>e^{X+Y} = e^X e^Y</math>
が成り立つ。しかし可換でない行列については上記の関係は成り立たない。この場合、{{仮リンク|ベイカー＝キャンベル＝ハウスドルフの公式|en|Baker–Campbell–Hausdorff formula}}が {{math|''e''{{sup|''X''+''Y''}}}} の計算に利用できる。

逆は一般には成り立たない。即ち、等式 {{math2|''e''{{sup|''X''+''Y''}} {{=}} ''e{{sup|X}}e{{sup|Y}}''}} は {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} が可換であることを意味しない。

[[エルミート行列]]について、行列指数関数の[[跡 (線型代数学)|跡]]に関係する2つの注目すべき定理を挙げる。{{仮リンク|ゴールデン&ndash;トンプソン不等式|en|Golden&ndash;Thompson inequality}} は以下の定理である。

;定理 ({{en|''Golden&ndash;Thompson''}}){{sfn|Bhatia|1997}}
:{{math2|''A'', ''H''}} がエルミートであるとき、次の不等式が成り立つ。
:<math>\operatorname{tr}\exp(A+H) \leq \operatorname{tr}(\exp(A)\exp(H)).</math>
:ここで可換性は要求されないことに注意する。

ゴールデン&ndash;トンプソン不等式を 3つの行列に対するものに拡張できないことを示す反例が知られている。そもそもエルミート行列 {{mvar|A, B, C}} に対して {{math2|tr(exp(''A'')exp(''B'')exp(''C''))}} が実になること自体が保証されないのだが、次に示すリーブの定理（[[エリオット・リーブ]]に因む）はある意味でそのような保証を与える：

;定理 ({{en|''Lieb''}}) 
:固定されたエルミート行列 {{mvar|H}} について、関数
:<math>f(A) = \operatorname{tr} \,\exp \left( H + \log A \right)</math>
:は[[行列の定値性|正定値行列]][[凸錐|錐]]上の[[凹関数]]である{{sfn|Lieb|1973}}{{sfn|Epstein|1973}}。

=== 指数写像 ===
{{main|リー環の指数写像}}
複素行列の指数関数が常に[[正則行列]]であるということに注意する（{{mvar|e{{sup|X}}}} の[[逆行列]]は {{math|''e''{{sup|&minus;''X''}}}} によって与えられる）。これは複素変数の指数関数が常に零でないことに対応する事実である。ゆえに、行列の指数関数 {{mvar|n}}次正方行列の全体の成す空間から {{mvar|n}}次元の[[一般線型群]]（{{mvar|n}}次正則行列の[[群 (数学)|群]]）への[[写像]]
:<math>\exp \colon M_n(\mathbb C) \to \mathrm{GL}(n,\mathbb C)</math>
を定めている。実は、この写像は[[全射]]、すなわちどんな正則行列も何らかの行列乗として書くことができる（ここで実数体 {{mathbf|R}} でなく複素数[[可換体|体]] {{mathbf|C}} 上で考えることが本質的に利いてくる）。

2つの行列 {{math2|''X'', ''Y''}} について
:<math>\| e^{X+Y} - e^X \| \le \| Y \|e^{\|X\|} e^{\|Y\|}</math>
が成り立つ。ここで {{math|{{!!}} · {{!!}}}} は任意の[[行列ノルム]]である。ここから、指数写像は[[コンパクト空間|コンパクト]]部分集合 {{math|''M{{sub|n}}''('''C''')}} 上で[[連続 (数学)|連続]]かつ[[リプシッツ連続]]であることが従う。

写像
:<math>t \mapsto e^{tX} \quad (t \in \mathbb{R})</math>
は {{math2|''t'' {{=}} 0}} で[[単位元]]を通る、一般線型群内の[[滑らかな関数|滑らかな]]曲線を定義する。実は
:<math>e^{tX}e^{sX} = e^{(t+s)X}</math>
が成り立つから、これらは一般線型群の{{仮リンク|1パラメータ部分群|en|one-parameter subgroup}}を与えている。

この曲線の {{mvar|t}} 上の微分係数（あるいは[[接ベクトル]]）は
{{NumBlk|:|<math>\frac{d}{dt} e^{tX} = Xe^{tX} = e^{tX}X</math>|{{EquationRef|1}}}}
で与えられる。{{math2|''t'' {{=}} 0}} での微分係数はまさに行列 {{mvar|X}} であり、これはつまり {{mvar|X}} がこの一径数部分群を生成することを示している。

より一般に{{sfn|Wilcox|1967}}、{{mvar|t}} に依存する生成的指数 {{math|''X''(''t'')}} に対して
:<math>\frac{d}{dt}e^{X(t)} = \int_0^1 e^{\alpha X(t)} \frac{dX(t)}{dt} e^{(1-\alpha) X(t)}\,d\alpha</math>
となる。右辺の {{math|''e''{{sup|''X''(''t'')}}}} を積分記号の外へ出して、残った被積分関数をアダマールの補題を使って展開すれば、以下の有用な行列乗の微分係数の表示
:<math>\left( \frac{d}{dt}e^{X(t)} \right) e^{-X(t)} = \frac{d}{dt}X(t) + \frac{1}{2!}[X(t),\frac{d}{dt}X(t)] + \frac{1}{3!}[X(t),[X(t),\frac{d}{dt}X(t)]]+\dotsb</math>
が得られる。この式における係数はもとの指数函数の成分に現れているものとは異なることに注意せよ。また閉じた形の式は{{仮リンク|指数写像の微分|en|derivative of the exponential map}}を参照。

=== 行列の指数関数の行列式 ===
[[ヤコビの公式]]から、任意の複素正方行列について次の{{仮リンク|トレース恒等式|en|Trace identity}}が成り立つ：
:<math>\det (e^A) = e^{\operatorname{tr}(A)}~.</math>
計算に役立つだけでなく、上記の等式の右辺は常に非零であるから、左辺の[[行列式]]は非零 {{math2|det(''e{{sup|A}}'') ≠ 0}} であり、したがって行列指数関数 {{mvar|e{{sup|A}}}} は常に[[正則行列|正則]]であることが分かる。

実行列の場合、上記の公式から写像
:<math>\exp \colon M_n(\mathbb{{R}}) \to \mathrm{GL}(n,\mathbb{{R}})</math>
が[[全射]]ではないことも分かる。なぜならば、実行列について公式の右辺は常に正であるが、行列式が負の正則行列は存在するからである。このことは[[#指数写像|先に触れた複素行列の場合]]とは対照的である。

== 指数函数の計算 ==
一般の行列乗の計算を確度と精度を以って行うことは非常に難しく、現在においても数学、特に数値解析において重要な研究トピックの一つである。[[MATLAB]]や[[GNU Octave]]は[[パデ近似]]を使っている<ref>{{Cite web |url=http://www.mathworks.de/help/techdoc/ref/expm.html |title=Matrix exponential - MATLAB expm - MathWorks Deutschland |publisher=Mathworks.de |date=2011-04-30 |accessdate=2013-06-05}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.network-theory.co.uk/docs/octave3/octave_200.html |title=GNU Octave - Functions of a Matrix |publisher=Network-theory.co.uk |date=2007-01-11 |accessdate=2013-06-05}}</ref>。

いくつかの行列のクラスに関しては、比較的容易に計算ができる。

=== 対角行列の場合 ===
[[対角行列]]
:<math>A=\begin{bmatrix}
a_1    &0      &\cdots &0      \\
0      &a_2    &\cdots &0      \\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
0      &0      &\cdots &a_n
\end{bmatrix}</math>
に対して、行列 {{mvar|A}}乗は単に主対角成分のそれぞれを肩に載せた
:<math>e^A=\begin{bmatrix}
e^{a_1} &0       &\cdots &0       \\
0       &e^{a_2} &\cdots &0       \\
\vdots  &\vdots  &\ddots &\vdots  \\
0       &0       &\cdots &e^{a_n}
\end{bmatrix}</math>
で与えられる。これは対角行列同士の行列の積は単に成分ごとの積に等しいということからの帰結である。特に通常の指数函数は「一次元」の場合の対角行列の指数函数とみなせる。

これを利用すれば[[対角化可能行列]]乗も計算できる。つまり {{math2|''A'' {{=}} ''UDU''{{sup|&minus;1}}}} かつ {{mvar|D}} が対角行列ならば
: {{math2|''e{{sup|A}}'' {{=}} ''Ue{{sup|D}}U''{{sup|&minus;1}}}}
である。{{仮リンク|シルベスターの公式|en|Sylvester's formula|preserve=1}}を応用しても同じ結果が得られる。

=== 正射影行列の場合 ===
考える行列が[[射影作用素|射影行列]]ならば、これは[[冪等]]だから、行列乗は
: {{math2|''e{{sup|P}}'' {{=}} ''I'' + (''e'' &minus; 1)''P''}}
となることが指数函数の定義より容易に分かる。実際、冪等性により {{math2|''P{{sup|k}}'' {{=}} ''P''(''k'' ≥ 1)}} だから、
:<math>e^P = I + \textstyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{P^k}{k!} = I+ \left( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \right) P=I+(e-1)P</math>
である。

=== 冪零行列の場合 ===
[[冪零行列]] {{mvar|N}} は適当な正整数 {{mvar|q}} に対して {{math2|''N{{sup|q}}'' {{=}} 0}} を満たす。{{mvar|N}}乗 {{mvar|e{{sup|N}}}} は指数函数の定義級数から直接に
:<math>e^N = I + N + \frac{1}{2}N^2 + \frac{1}{6}N^3 + \cdots + \frac{1}{(q-1)!}N^{q-1}</math>
と計算できる（級数は有限項で終わる）。

=== より一般の場合 ===
行列 {{mvar|X}} に対してその[[最小多項式 (線型代数学)|最小多項式]]が一次式の積に分解されるとき、行列 {{mvar|X}} は
:<math>X=A+N</math>
:* {{mvar|A}}：対角化可能
:* {{mvar|N}}：冪零
:* {{mvar|A}} と {{mvar|N}} は可換 {{math2|(''AN'' {{=}} ''NA'')}}
なる形に書くことができる（[[ジョルダン標準形|ジョルダン分解]]）。このとき {{mvar|X}}乗の計算は
:<math>e^X = e^{A+N} = e^A e^N</math>
により、先の対角化可能行列および冪零行列の計算に帰着される。後の等号で {{mvar|A}} と {{mvar|N}} との可換性が必要であることに注意せよ。

同様の方法は、[[代数閉体]]上の行列に対して[[ジョルダン標準形]]を取ることで与えられる。即ち {{mvar|J}} が {{mvar|X}} のジョルダン標準形で {{math2|''X'' {{=}} ''PJP''{{sup|&minus;1}}}} と書くとき、
:<math>e^X = Pe^J P^{-1}</math>
である。ジョルダン細胞の直和として
:<math>J=J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n),</math>
と書けば、
:<math>\begin{align}
e^J &= \exp \big( J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n) \big) \\
    &= \exp \big( J_{a_1}(\lambda_1) \big) \oplus \exp \big( J_{a_2}(\lambda_2) \big) \oplus\cdots\oplus \exp \big( J_{a_k}(\lambda_k) \big).
\end{align}</math>
となるから、後はジョルダン細胞乗が計算できればよい。各ジョルダン細胞は特別な形をした冪零行列 {{mvar|N}} を用いて
:<math>J_a (\lambda) = \lambda I + N</math>
なる形に書けるのだから、
:<math>e^{\lambda I+N} = e^{\lambda} e^N</math>
が得られる。

=== ローラン級数による評価 ===
[[ケイリー・ハミルトンの定理]]を考えれば、{{mvar|n}}次正方行列乗はその行列の高々次数 {{math2|''n'' &minus; 1}} の多項式として表示できるはずである。
 
非零な一変数多項式 {{mvar|P}} および {{mvar|Q{{sub|t}}}} は {{math2|''P''(''A'') {{=}} 0}} なるものとする。[[有理型函数]]
:<math>f(z)=\frac{e^{t z}-Q_t(z)}{P(z)}</math>
が[[整函数]]ならば
:<math>e^{t A} = Q_t(A)</math>
が成り立つ。これを示すには上記等式において {{math|''P''(''z'')}} を掛けて {{mvar|z}} を {{mvar|A}} で置き換えればよい。

さてこのような多項式 {{math|''Q{{sub|t}}''(''z'')}} は以下のように見つけることができる（{{仮リンク|シルベスターの公式|en|Sylvester's formula|preserve=1}}参照）。{{mvar|a}} は {{mvar|P}} の根として、  {{math|''Q''{{sub|''a'',''t''}}(''z'')}} は {{mvar|P}} に {{mvar|f}} の {{mvar|a}} における[[ローラン級数]]の主要部を掛けることで得られる。これは関連する{{仮リンク|フロベニウス共変行列|en|Frobenius covariant}}に比例する。{{mvar|a}} が {{mvar|P}} の根を亙るときの {{math|''Q''{{sub|''a'',''t''}}}} 全ての和 {{mvar|S{{sub|t}}}} が所期の {{mvar|Q{{sub|t}}}} として取れる。他全ての {{mvar|Q{{sub|t}}}} は {{math|''S{{sub|t}}''(''z'')}} に {{mvar|P}} の定数倍を加えることで得られる。特に、ラグランジュ&ndash;シルヴェスター多項式 {{math|''S{{sub|t}}''(''z'')}} は {{mvar|P}} より次数が低くなる唯一の {{mvar|Q{{sub|t}}}} である。

== 行列の行列乗 ==
行列の指数函数と[[行列の対数函数]]が既知であるならば、[[正規行列|正規]]かつ[[正則行列|正則]]な {{mvar|n}}次正方行列 {{mvar|X}} と {{mvar|n}}次複素正方行列 {{mvar|Y}} に対して、行列の行列乗 (matrix-matrix exponential)<ref>{{Citation |url=http://www.rockefeller.edu/labheads/cohenje/PDFs/215BarrabasCohenalApp19941.pdf |format=PDF|author=Ignacio Barradas and Joel E. Cohen |year=1994 |title=Iterated Exponentiation, Matrix-Matrix Exponentiation, and Entropy |publisher=Academic Press, Inc.}}</ref>を
:<math>\begin{align}
 X^Y &= e^{\log(X) \cdot Y}, \\
 \!{}^Y \!\!X\, &= e^{Y \cdot \log(X)}
\end{align}</math>
と定義することができる。ここに、[[行列の積|行列の乗法]]は[[交換法則|非可換]]であるから、行列の行列乗も左冪 {{mvar|{{sup|Y}}X}} と右冪 {{mvar|X{{sup|Y}}}} の別が生じることに注意せよ。さらに言えば、
* {{mvar|X}} が正規かつ正則ならば、{{mvar|X{{sup|Y}}}} と {{mvar|{{sup|Y}}X}} は固有値集合が一致する。
* {{mvar|X}} が正規かつ正則で、{{mvar|Y}} が正規であり、かつ {{math2|''XY'' {{=}} ''YX''}} が成り立つならば、{{math2|''X{{sup|Y}}'' {{=}} ''{{sup|Y}}X''}} が成り立つ。
* {{mvar|X}} が正規かつ正則で、{{math2|''X'', ''Y'', ''Z''}} がどの2つも可換ならば、{{math2|''X''{{sup|''Y''+''Z''}} {{=}} ''X{{sup|Y}}''&sdot;''X{{sup|Z}}'', {{sup|''Y''+''Z''}}''X'' {{=}} ''{{sup|Y}}X''&sdot;''{{sup|Z}}X''}} が成り立つ。

== 応用 ==
連立常微分方程式の数値解法である[[:en:exponential integrator|exponential integrator]]の研究においては、行列指数関数は重要視されている<ref name="Exponential integrators">Hochbruck and Ostermann, (2010)</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book |last=Bhatia | first=R. |title=Matrix Analysis |series=Graduate Texts in Mathematics |isbn=978-0-387-94846-1 |year=1997 |publisher=Springer |volume=169 |ref=harv}}
* {{Cite journal |doi=10.1016/0001-8708(73)90011-X |last=Lieb |first=E. H. |title=Convex trace functions and the Wigner–Yanase–Dyson conjecture |journal=Adv. Math. |volume=11 |pages=267-288 |year=1973 |issue=3 |ref=harv}}
* {{Cite journal |doi=10.1007/BF01646492 |last=Epstein |first=H. |title=Remarks on two theorems of E. Lieb |journal=Commun Math. Phys. |volume=31 |page=317–325 |year=1973 |issue=4 |ref=harv}}
* {{cite journal|doi=10.1063/1.1705306 |first=R. M. |last=Wilcox |title=Exponential Operators and Parameter Differentiation in Quantum Physics |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=8 |pages=962-982 |year=1967 |issue=4 |ref=harv}}
* {{Cite book |last1=Horn |first1=Roger A. |last2=Johnson |first2=Charles R. |title=Topics in Matrix Analysis |publisher=[[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-46713-1 |year=1991 |ref=harv}}
* {{Cite journal |last1=Moler |first1=Cleve |last2=Van Loan |first2=Charles F. |title=Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later |year=2003 |journal=SIAM Review |issn=1095-7200 |volume=45  |issue=1 |pages=3-49 |url=http://www.cs.cornell.edu/cv/researchpdf/19ways+.pdf |doi=10.1137/S00361445024180 |ref=harv}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
* [[行列値関数]]
* [[行列の対数函数]]
* [[指数関数]]
* [[リー環の指数写像]]
* {{仮リンク|マグヌス展開|en|Magnus expansion}}
* {{仮リンク|ベクトルフロー|en|Vector flow}}
* {{仮リンク|ゴールデン&ndash;トンプソン不等式|en|Golden–Thompson inequality}}
* {{仮リンク|相型分布|en|Phase-type distribution}}
* [[リー・トロッター積公式]]
* {{仮リンク|ベイカー&ndash;キャンベル&ndash;ハウスドルフ公式|en|Baker–Campbell–Hausdorff formula}}
* {{仮リンク|フロベニウス共変行列|en|Frobenius covariant}}
* {{仮リンク|シルベスターの公式|en|Sylvester's formula|preserve=1}}
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1312|行列の指数関数とその性質}}
* {{Mathworld|urlname=MatrixExponential|title=Matrix Exponential}}
* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/MatrixExponentialMod.html Module for the Matrix Exponential]

{{線形代数}}
{{DEFAULTSORT:きようれつのしすうかんすう}}
[[Category:行列]]
[[Category:指数関数]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]