行列表示のソースを表示

[[量子力学]]において、'''行列表示'''（ぎょうれつひょうじ）とは、[[演算子 (物理学)|演算子]]を[[行列]]、[[状態ベクトル]]を縦ベクトルとして計算する方法である。

実際に計算機を用いて計算を行う場合は、微積分などの演算子を使う形式よりも行列表示の方が扱いやすい。

==演算子の行列要素==
任意の[[完全正規直交系]]<math>\left\{ | 1 \rangle, \dotsc, | m \rangle, \dotsc, | n \rangle , \dotsc \right\}</math>をひとつ選ぶと、これを用いて演算子と状態ベクトルは以下のように展開できる。

:<math>\begin{align}
\hat{A} 
&= \hat{1} \hat{A} \hat{1} 
= \sum_{m,n} | m \rangle \langle m | \hat{A} | n \rangle \langle n | 
= \sum_{m,n} | m \rangle A_{mn} \langle n |  \\
| \psi \rangle 
&= \hat{1} | \psi \rangle 
= \sum_n | n \rangle \langle n | \psi \rangle 
= \sum_n \psi_n | n \rangle
\end{align}</math>

この<math>\langle m | \hat{A} | n \rangle \ = A_{mn} \ </math>を「演算子<math> \hat{A} \ </math>の'''行列要素'''」と呼ぶ。

==行列表示での計算==
このように行列表示をすれば、「状態ベクトル<math> | \psi \rangle </math>に演算子<math> \hat{A} \ </math>を作用して、新たな状態ベクトル<math> | \psi' \rangle </math>を得た」
:<math> \hat{A} | \psi \rangle 
= | \psi' \rangle </math>
ということは、「行列<math>(A_{mn})</math>と縦ベクトル<math>(\psi_{n})</math>のかけ算で、新たな縦ベクトル<math>(\psi'_{n})</math>を得た」
:<math>\sum_n \ A_{mn} \psi_{n} 
= \psi'_{m}</math>
あるいは
:<math>
\begin{pmatrix}
A_{11}  &A_{12}   & \cdots &         &         \\
A_{21}  & \ddots  &        &         &         \\
 \vdots &         & A_{mn} &         & \vdots  \\
        &         &        &  \ddots &         \\
        &         & \cdots &         &         \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \ \psi_{1}   \\
 \ \vdots   \\
 \ \psi_{n} \\
 \ \vdots   \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 \ \psi'_{1}\\
 \ \vdots   \\
 \ \psi'_{m} \\
 \ \vdots   \\
\end{pmatrix}
</math>
と表現できる。

==参考文献==
* {{Cite book|和書|author=Attila Szabo; Neil S. Ostlund|title=新しい量子化学―電子構造の理論入門|year=1987|publisher=東京大学出版会|ISBN=978-4130621113|translator=大野公男; 望月祐志; 阪井健男}}
* {{Cite book|和書|author=清水明|year=2004|title=新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―|publisher=[[サイエンス社]]|id=ISBN 4-7819-1062-9}}

{{DEFAULTSORT:きようれつひようし}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:行列]]