行列表示

量子力学において、行列表示（ぎょうれつひょうじ）とは、演算子を行列、状態ベクトルを縦ベクトルとして計算する方法である。

実際に計算機を用いて計算を行う場合は、微積分などの演算子を使う形式よりも行列表示の方が扱いやすい。

演算子の行列要素

任意の完全正規直交系 ${| 1 ⟩, \dots, | m ⟩, \dots, | n ⟩, \dots}$ をひとつ選ぶと、これを用いて演算子と状態ベクトルは以下のように展開できる。

\begin{matrix} \hat{A} & = \hat{1} \hat{A} \hat{1} = \sum_{m, n} | m ⟩ ⟨ m | \hat{A} | n ⟩ ⟨ n | = \sum_{m, n} | m ⟩ A_{m n} ⟨ n | \\ | ψ ⟩ & = \hat{1} | ψ ⟩ = \sum_{n} | n ⟩ ⟨ n | ψ ⟩ = \sum_{n} ψ_{n} | n ⟩ \end{matrix}

この $⟨ m | \hat{A} | n ⟩ = A_{m n}$ を「演算子 $\hat{A}$ の行列要素」と呼ぶ。

このように行列表示をすれば、「状態ベクトル $| ψ ⟩$ に演算子 $\hat{A}$ を作用して、新たな状態ベクトル $| ψ^{'} ⟩$ を得た」

\hat{A} | ψ ⟩ = | ψ^{'} ⟩

ということは、「行列 $(A_{m n})$ と縦ベクトル $(ψ_{n})$ のかけ算で、新たな縦ベクトル $(ψ'_{n})$ を得た」

\sum_{n} A_{m n} ψ_{n} = ψ'_{m}

あるいは

(\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots \\ A_{21} & ⋱ \\ ⋮ & A_{m n} & ⋮ \\ ⋱ \\ \dots \end{matrix}) (\begin{matrix} ψ_{1} \\ ⋮ \\ ψ_{n} \\ ⋮ \end{matrix}) = (\begin{matrix} ψ'_{1} \\ ⋮ \\ ψ'_{m} \\ ⋮ \end{matrix})

と表現できる。