表面積のソースを表示

{{出典の明記|date=2019-04}}
{{Expand English|Surface area|date=2024年5月}}
'''表面積'''（ひょうめんせき）は、[[立体図形]]の[[表面]]の[[面積]]。直感的には、立体図形を水中に入れたとき濡れる部分の面積のことである。

[[ユークリッド空間]]で、図形を {{mvar|a}}倍に[[図形の相似|拡大]]すると、[[体積]]は {{math|''a''{{sup|3}}}}倍になるのに対し、表面積は {{math|''a''{{sup|2}}}}倍になる。ただし、3軸それぞれの方向に {{math2|''a''. ''b'', ''c''}}倍に拡大した場合は、体積は {{mvar|abc}}倍になるが、表面積の変化は図形による。

[[せん断]]成分のある変形に対しては、体積は一定だが表面積は一般に異なる。例えば、底面が合同で高さが同じ[[平行六面体]]と[[直方体]]は、体積が等しいが表面積は異なる。

表面積は、一般には[[積分]]を使って計算される。[[対称性]]の高い図形のみ、初等数学で求まる[[公式]]が得られる。[[楕円体]]のように、体積は簡単に求まるが表面積を求めるには複雑な計算が必要な図形もある。

== 表面積の公式の例 ==
{|class="wikitable"
|align="center"|[[立方体]]||bgcolor="white"|<math>6 a^2</math>||辺長 {{mvar|a}}
|-
|align="center"|[[直方体]]||bgcolor="white"|<math>2(ab+bc+ca)</math>||辺長 {{math2|''a'', ''b'', ''c''}}
|-
|align="center"|[[球体|球]]||bgcolor="white"|<math>4 \pi r^2</math>||半径 {{mvar|r}}
|-
|align="center"|[[扁球]]||bgcolor="white"|<math>2 \pi a^2 \left( 1+\frac{(1-e^2) \tanh^{-1} e}{e} \right)</math>||長半径 {{mvar|a}}, [[離心率]] {{mvar|e}}
|-
|align="center"|[[長球]]||bgcolor="white"|<math>2 \pi a^2 \left( 1-e^2+\frac{\sqrt{1-e^2} \sin^{-1} e}{e} \right)</math>||長半径 {{mvar|a}}, 離心率 {{mvar|e}}
|-
|align="center"|[[トーラス]]||bgcolor="white"|<math>4\pi^2 Rr</math>||大半径 {{mvar|R}}, 小半径 {{mvar|r}}
|-
|align="center"|直[[円錐]]||bgcolor="white"|<math>\pi r(r+\sqrt{r^2 +h^2})</math>||底面の半径 {{mvar|r}}, 高さ {{mvar|h}}
|-
|align="center"|[[円柱 (数学)|直円柱]]||bgcolor="white"|<math>2\pi r(r+h)</math>||底面の半径 {{mvar|r}}, 高さ {{mvar|h}}
|-
|align="center"|[[柱体|直柱体]]||bgcolor="white"|<math>2B+sh</math>||底面積 {{mvar|B}}, 底面の周 {{mvar|s}}, 高さ {{mvar|h}}
|-
|align="center"|[[デルタ多面体]]<br />（[[正四面体|正四]]・[[正八面体|八]]・[[正二十面体|二十面体]]を含む）||bgcolor="white"|<math>\frac{\sqrt{3}}{4} n a^2</math>||辺長 {{mvar|a}}, 面数 {{mvar|n}}
|-
|align="center"|[[正十二面体]]||bgcolor="white"|<math>3 \sqrt{25+10\sqrt{5}} a^2</math>||辺長 {{mvar|a}}
|-
|align="center"|[[メンガーのスポンジ]]||bgcolor="white"|<math>\infty</math>||
|}

== 高次元図形の表面積 ==
一般の {{mvar|n}}次元図形については、図形の表面の {{math2|''n'' &minus; 1}}次元[[ルベーグ測度]]を表面積と呼ぶ。面積（2次元ルベーグ測度）でないことを強調したいときは、'''超表面積'''ともいう。

ユークリッド空間では、図形を {{mvar|a}}倍に拡大すると、体積（図形の {{mvar|n}}次元ルベーグ測度）は {{mvar|a{{sup|n}}}}倍、表面積は {{math|''a''{{sup|''n''&minus;1}}}} 倍になる。

{{DEFAULTSORT:ひようめんせき}}
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[[Category:立体図形]]
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