複素共役のソースを表示

[[画像:Complex conjugate picture.svg|thumb|複素数 {{mvar|z}} の複素共役 {{math|{{overline|''z''}}}} を取る操作は、[[複素数平面]]では実軸[[線対称|対称]]変換に当たる。]]
[[数学]]において、'''複素共役'''（'''複素共軛'''、ふくそきょうやく、{{lang-en-short|complex conjugate}}）とは、[[複素数]]の虚部を[[反数]]にした複素数をとる操作（[[写像]]）のことである。複素数 {{mvar|z}} の'''共役複素数'''を記号で {{math|{{overline|''z''}}}} で表す<ref group="注釈">複素共役を表すのには上線がよく使われる。上付きの[[アスタリスク]] ({{math|''z''{{sup|*}}}}) なども使われるが、行列の[[随伴行列]]などとの混乱を避けるためにあまり使われない{{要出典|date=2023年9月}}。</ref>

複素数 {{math2|''z'' {{=}} ''a'' + ''bi''}}（{{math2|''a'', ''b''}} は[[実数]]、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]）の共役複素数 {{overline|''z''}} は
:<math>\overline{z} = a - b\, i</math>
である。極形式表示した複素数 {{math|''z'' {{=}} ''r''(cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'')}}（{{math2|''r'' ≥ 0}}, {{mvar|θ}} は実数）の共役複素数 {{overline|''z''}} は、[[複素数の偏角|偏角]]を反数にした複素数である：
:<math>\overline{z} =r \{ \cos (- \theta ) +i \sin (- \theta ) \}</math>

複素数の共役をとる複素関数 {{math2|{{overline|・}} : '''C''' → '''C''' ; ''z'' ↦ {{overline|''z''}}}} は[[環準同型|環同型]]である。すなわち次が成り立つ。
* {{math|1={{overline|''z'' + ''w''}} = {{overline|''z''}} + {{overline|''w''}}}}
* {{math|1={{overline|''zw''}} = {{overline|''z''}} {{overline|''w''}}}}
複素共役は[[実数]]を変えない：
* {{mvar|z}} が実数 ⇔ {{math|1={{overline|''z''}} = ''z''}}
逆に、{{mathbf|C}} 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、[[恒等写像]]か複素共役変換に限られる<ref name="memo_takahashi" /><ref name="hatori" />。

複素共役変換は、{{mathbf|C}} の全ての点で[[複素微分]]不可能である。

複素共役変換を {{mathbf|R}} 上の[[線型写像|線型変換]]と見ると、その[[線型写像#行列表現|表現行列]]は
:<math>\begin{bmatrix}
1 &0 \\
0 &-1
\end{bmatrix}</math>

[[代数方程式]]について、
:「実係数[[多項式]] {{math|''P''(''x'')}} が虚数[[多項式の根|根]] {{mvar|α}} をもつならば、{{mvar|α}} の共役複素数 {{math|{{overline|''α''}}}} も {{math|''P''(''x'')}} の虚数根である」
すなわち
:実係数多項式 {{math|''P''(''x'')}} について、{{math2|1=''P''(''α'') = 0 ⇔ ''P''({{overline|''α''}}) = 0}}
が成り立つ（[[1746年]]、[[ジャン・ル・ロン・ダランベール|ダランベール]]）。このことは、複素共役変換は環準同型であることから容易に示せる。

== 定義と特徴づけ ==
複素数 {{math|''z'' {{=}} ''a'' + ''bi''}}（{{math2|''a'', ''b''}} は[[実数]]、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]）の複素共役とは、
:<math>\overline{z} = a - b\, i</math>
を取る操作のことである。この[[写像]]を'''複素共役変換'''という。

複素共役変換は'''[[環準同型|環同型]]写像である'''。すなわち、複素共役変換 {{math2|{{overline|・}} : '''C''' → '''C''' ; ''z'' ↦ {{overline|''z''}}}} に対して、次が成り立つ。
* {{math2|{{overline|・}}}} は[[全単射]]
* {{math|1={{overline|''z'' + ''w''}} = {{overline|''z''}} + {{overline|''w''}}}}
* {{math|1={{overline|''zw''}} = {{overline|''z''}} {{overline|''w''}}}}
さらに、複素共役は実数を保つ：
* {{mvar|z}} が実数 {{math2|1=⇔ {{overline|''z''}} = ''z''}}
逆に、{{mathbf|C}} 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、[[恒等写像]]か複素共役変換に限られる<ref name="memo_takahashi">{{Cite book|和書 |author=高橋礼司|authorlink=高橋礼司 |title=複素解析 |publisher=[[東京大学出版会]] |date=1990-01-01 |isbn=978-4130621069 |page=5 |chapter=第1章「複素数」}}の[http://www2.accsnet.ne.jp/~kamey/others/tk1/chap1/sec2/01.html 読書メモ]</ref><ref name="hatori">{{Cite journal|和書|author=羽鳥理 |date=2000-04 |url=https://hdl.handle.net/2433/63807 |title=Ring homomorphisms on commutative Banach algebras(1)〔和文〕 |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=1137 |pages=1-8 |hdl=2433/63807 |CRID=1050282677151329152}}</ref>。
{{See also|自己同型}}
（証明）
:{{math2|''σ'' : '''C''' → '''C'''}} は環準同型写像で、
::実数 {{mvar|r}} に対して {{math|''σ''(''r'') {{=}} ''r''}}
:を満たすとする。
::{{math|1=(''σ''(''i'')){{sup|2}} = ''σ''(''i''{{sup|2}}) = ''σ''(&minus;1) = &minus;1}}
::{{math|1=(''σ''(''i'') + ''i'')(''σ''(''i'') &minus; ''i'') = 0}}
::{{math|1=∴&nbsp; ''σ''(''i'') = ±''i''}}
:ゆえに、複素数 {{math|''z'' {{=}} ''x'' + ''yi''}}（{{math2|''x'', ''y''}} は実数）に対して、
::{{math|1=''σ''(''z'') = ''σ''(''x'' + ''yi'') = ''σ''(''x'') + ''σ''(''y'')''σ''(''i'') = ''x'' + ''y σ''(''i'') = ''x'' ± ''yi''}}
:{{math|''σ''(''x'' + ''yi'') {{=}} ''x'' + ''yi''}} のとき、{{mvar|σ}} は恒等写像。
:{{math|''σ''(''x'' + ''yi'') {{=}} ''x'' &minus; ''yi''}} のとき、{{mvar|σ}} は複素共役変換である。（証明終）

== 性質 ==
=== 計算法則 ===
{{math2|''z'', ''w''}} を複素数とする。以下の性質が成り立つ。
* <math>z</math> が実数 ⇔ <math>\overline{z} = z</math>
** <math>z</math> が純虚数 ⇔ <math>\overline{z} = -z \neq 0</math>
* <math>\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}</math>
** <math>\overline{z-w} = \overline{z} - \overline{w}</math>
* <math>\overline{zw} = \overline{z} \cdot \overline{w}</math>
** <math>\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} \ (w \ne 0)</math>
** <math>\overline{z^n} = ( \overline{z} )^n</math>（{{mvar|n}} は整数）
上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。
* <math>\overline{\overline{z}} = z</math>（[[対合]]）
* <math>|z| = |\overline{z}|</math>
* <math>z\overline{z} = |z|^2</math>
* <math>z + \overline{z} = 2 \,\operatorname{Re} z</math>
* <math>z - \overline{z} = 2 i \,\operatorname{Im} z</math>
* <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} \ (z \ne 0)</math>
** [[逆数]]は、絶対値と共役で表せる。

=== 複素数の種々の値 ===
複素共役を用いると、複素数の実部・虚部、絶対値・偏角を表すことができる。
*<math>\operatorname{Re} z = \frac{z+\overline{z}}{2}</math>
*<math>\operatorname{Im} z = \frac{z-\overline{z}}{2i}</math>
*<math>\left| z \right| = \sqrt{z\overline{z}}</math>
*<math>e^{i\arg z} = \sqrt{\frac{z}{\overline{z}}}</math>

=== 代数方程式 ===
実係数多項式 {{math|''f''(''x'')}} が虚数[[多項式の根|根]] {{mvar|α}} をもつならば、{{mvar|α}} の共役複素数 {{math|{{overline|''α''}}}} も {{math|''f''(''x'')}} の根である。すなわち、実数係数多項式 {{math|''f''(''x'')}} について
:<math>f( \alpha ) = 0 \iff f(\overline{\alpha}) = 0</math>
が成り立つ（[[1746年]]、[[ジャン・ル・ロン・ダランベール|ダランベール]]）。このことは複素共役が環準同型であることから分かる。

=== 複素解析 ===
複素共役変換 {{math2|{{overline|・}} : '''C''' → '''C''' ; ''z'' ↦ {{overline|''z''}}}} は、{{mathbf|C}} の全ての点で[[複素微分]]不可能である。

実軸の開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その[[解析接続]]は、共役複素数に対して共役複素数を与える。たとえば複素解析において
:<math>\exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)}</math>
:<math>\log(\overline{z}) = \overline{\log(z)}</math>（ただし実軸のある領域上で実数値をとる分枝の、複素共役について対称的な領域への拡張について）
が成り立つ。

=== 複素数空間 ===
[[複素数空間|複素線形空間]] {{math|'''C'''{{sup|''n''}}}} の標準[[内積]] {{math2|<・{{!}}・> : '''C'''{{sup|''n''}} × '''C'''{{sup|''n''}} → '''R'''{{sub|≥0}}}}
は次の式で定義される：
:<math>\boldsymbol{x} = (x_1, \cdots , x_n), \boldsymbol{y} = (y_1, \cdots , y_n) \in \mathbb{C}^n</math> に対して、
:<math>\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle := \textstyle \sum\limits_{i=1}^n x_i \overline{y_i}</math>

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注釈"}}

=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=黒須康之介|date=1959-04|title=複素数|series=新数学シリーズ 16|publisher=[[培風館]]|isbn=978-4-563-00316-6|ref={{Harvid|黒須|1959}}}}
* {{Cite book|和書|author=高木貞治|authorlink=高木貞治|date=1965-11-25|title=代数学講義|edition=改訂新版|chapter=第1章 複素数|publisher=[[共立出版]]|isbn=978-4-320-01000-0|ref={{Harvid|高木|1965}}}}
* {{Cite book|和書|author=高木貞治|date=1996-12-10|title=復刻版 近世数学史談・数学雑談|publisher=共立出版|isbn=978-4-320-01551-7|ref={{Harvid|高木|1996}}}}
* {{Cite book|和書|author=高橋正明|date=2000-10-21|title=複素数|edition=改訂版|series=[[モノグラフ]] 9|publisher=[[科学新興新社]]|isbn=978-4-89428-166-0|ref={{Harvid|高橋|2000}}}}
* {{Cite book|和書|author=西山清二|date=2018-03|title=教科書だけでは足りない大学入試攻略複素数平面|series=河合塾シリーズ|publisher=[[河合出版]]|isbn=978-4-7772-1496-9|ref={{Harvid|西山|2018}}}}

== 関連項目 ==
{{div col}}
* [[共役]]
* [[複素数]]
* [[複素平面]]
* [[虚数]]
{{div col end}}

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|共役複素数}}
* {{MathWorld|ComplexConjugate|Complex Conjugates}}
* {{MathWorld|ImaginaryNumber|Imaginary Numbers}}


{{複素数}}
{{DEFAULTSORT:ふくそきようやく}}
[[Category:複素数|きようやく]]
[[Category:数学に関する記事]]