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{{otheruses|量子力学での波動関数の規格化|工業・産業での規格化|標準化|ベクトル、数量、データなどの規格化|正規化}}
'''規格化''' (きかくか、{{Lang-en-short|normalization}}) とは、ある空間で粒子が一つ存在し、それを記述する[[波動関数]]をΨとすると、Ψの[[ノルム]]に関して、

:<math> \int | \Psi |^2 d \mathbf{r} = 1 </math>

とすることである。正規化とも言う。積分は当該粒子の存在する全空間に対して行われる。積分の範囲は、その粒子のなす系に課された[[境界条件]]によって変わる。一つの例として[[周期的境界条件]]に基づく[[結晶格子]]では、以下のようにその[[単位胞]]内で規格化のための積分が行われる。

:<math> \int_{V_{cell}} | \Psi |^2 d \mathbf{r} = 1 </math>

ここで、V<sub>cell</sub> は単位胞の体積である。

[[直交座標系]]を考えて、'''r'''=(x,y,z) とし、更に時間tも考えると、一粒子の波動関数は <math>\Psi = \Psi(x,y,z,t) = \Psi(\mathbf{r},t) </math> で表され、これは、

:<math> \int | \Psi |^2 d \mathbf{r} = \int | \Psi (\mathbf{r}, t) |^2 d \mathbf{r} = 1 </math>

と規格化される。これは、ある時刻ｔで粒子が位置 '''r''' での微小な領域 d'''r'''(=dxdydz) に存在する[[確率密度関数|確率]]が、<math> | \Psi (\mathbf{r}, t) |^2 d \mathbf{r} </math> であることを示している。それを全空間（粒子の存在しうる全領域）で積分すれば、確率の総和は1となる必要がある。この要請を満たすために規格化を行う。実際の数値計算等で求められる波動関数は、そのままでは上記の積分が1となる保証はないので、積分値が1となるように規格化される。

== デルタ関数による規格化 ==
実際の量子論では、自乗積分が∞に発散するような関数を扱うことも多い。
:<math> \int |\psi_k(\mathbf{r},t) |^2 d \mathbf{r} = \infty </math>
その場合は、次のような[[デルタ関数]]による規格化を許している。
:<math>\int \psi^*_k(\mathbf{r},t) \psi_{k'}(\mathbf{r},t)d\mathbf{r} = \delta(k-k')</math>
この場合における<math>|\psi_k(\mathbf{r},t) |^2 </math>は、ある時刻ｔで位置<math>\mathbf{r}</math>の測定をした時の確率密度<math>p(\mathbf{r},t)</math>ではなく、次のように相対確率を表す<ref>{{Cite book|和書|author=清水明|date=2004-04|title=量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―|edition=新版|series=新物理学ライブラリ|publisher=[[サイエンス社]]|isbn=4-7819-1062-9}}</ref>。
:<math>p(\mathbf{r},t) \ne |\psi_k(\mathbf{r},t) |^2  </math>
:<math>p(\mathbf{r},t) \varpropto |\psi_k(\mathbf{r},t) |^2  </math>

== 参考文献 ==
<references />

{{DEFAULTSORT:きかくか}}
[[Category:量子力学]]

[[en:Normalizable wave function]]