計数過程のソースを表示

確率論において，'''計数過程 (counting process)''' とは，次の３条件を満たす[[確率過程]] <math>\{N_t\}_{t\ge0}</math> のことである：

# 非負性：<math>N_t\ge0</math>，
# 整数値：<math>N_t\in\mathbb{Z}</math>，
# 広義単調増加：<math>s\le t\;\Rightarrow\;N_s\le N_t</math>．

従って <math>N_t-N_s\;(s<t)</math> は非負整数であり，ある[[事象 (確率論)|事象]]が時区間 <math>(s,t]</math> の間に起こった回数を表すと考えることができる．計数過程の例には，[[ポアソン過程|Poisson 過程]]や[[マルコフ再生過程|再生過程]]がある．

実社会において計数過程とみなせる現象の例として，求職応募の数や，重大事故の発生件数などがある．

さらに [[マルコフ性|Markov 性]]も満たす場合，Markov 計数過程とも呼ぶ．

== 数学的定義 ==
'''多変量計数過程 (multivariate counting process)'''<math display="block">\mathbf{N}=(N_1,\cdots,N_k)\in\mathbb{Z}^k</math>とは，各成分 <math>N_i\;(i=1,\cdots,k)</math> が次の５条件を満たすものを言う：<ref>{{Cite book|洋書 |title=Statistical Models Based on Counting Processes |year=1993 |publisher=Springer New York |page=72 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-4348-9 |author=Andersen, P. K., Borgan, Ø., Gill, R. D., and Keiding, N.}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Odd Aalen|year=1978|title=Nonparametric Inference for a Family of Counting Processes|url=https://www.jstor.org/stable/2958850|journal=The Annals of Statistics|volume=6|issue=4|page=703}}</ref>
# [[適合過程|適合的]]な[[右連続左極限|右連続で左極限を持つ]]過程である．
# <math>N_i(0)=0</math>．
# 区分的に定数で[[単調写像|広義単調増加]]である．
# ジャンプ幅は必ず <math>1</math> である．
# どの異なる２成分 <math>N_i,N_j\;(i\ne j)</math> も，同じ時刻にはジャンプしない．

== 脚注 ==
<references />

== 文献 ==

* Ross, S.M. (1995) ''Stochastic Processes''. Wiley. {{ISBN2|978-0-471-12062-9}}
* Higgins JJ, Keller-McNulty S (1995) ''Concepts in Probability and Stochastic Modeling''. Wadsworth Publishing Company. {{ISBN2|0-534-23136-5}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/0-534-23136-5|0-534-23136-5]]
[[Category:確率過程]]