計量ベクトル空間のソースを表示

[[Image:Inner-product-angle.png|thumb|300px|内積を用いたベクトルの成す角の定義の幾何学的解釈]]
[[線型代数学]]における'''計量ベクトル空間'''（けいりょうベクトルくうかん、{{lang-en-short|''metric vector space''}}）は、[[内積]]と呼ばれる付加的な[[数学的構造|構造]]を備えた[[ベクトル空間]]であり、'''内積空間'''（ないせきくうかん、{{lang-en-short|''inner product space''}}）とも呼ばれる。この付加構造は、空間内の任意の二つのベクトルに対してベクトルの内積と呼ばれる[[スカラー (数学)|スカラー]]を対応付ける。内積によって、ベクトルの[[長さ]]や二つのベクトルの間の[[角度]]などの直観的な幾何学的概念に対する厳密な導入が可能になる。また内積が零になることを以ってベクトルの間の[[直交性]]に意味を持たせることもできる。内積空間は、内積として[[点乗積]]（スカラー積）を備えた[[ユークリッド空間]]を任意の次元（無限次元でもよい）のベクトル空間に対して一般化するもので、特に無限次元のものは[[函数解析学]]において研究される。

内積はそれに付随する[[ノルム]]を自然に導き、内積空間は[[ノルム空間]]の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して[[完備距離空間|完備]]となる空間は[[ヒルベルト空間]]と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は（内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから）'''前ヒルベルト空間''' (''pre-Hilbert space'') と呼ばれる。複素数体上の内積空間はしばしば'''ユニタリ空間''' (''unitary spaces'') とも呼ばれる。

== 定義 ==
{{main|内積}}
本項では[[スカラー (数学)|スカラー]]の[[可換体|体]] {{math|''F''}} は[[実数]]体 {{math|'''R'''}} または[[複素数]]体 {{math|'''C'''}} の何れかを意味するものとする。

厳密に言えば、内積空間とは体 {{math|''F''}} 上の[[ベクトル空間]] {{math|''V''}} であって、'''内積'''と呼ばれる写像
: <math> \langle \cdot, \cdot \rangle \colon V \times V \to F </math>
で以下の[[公理]]を満足するものを備えたものを言う<ref name= Jain>{{cite book |title=Functional analysis |author=P. K. Jain, Khalil Ahmad |url=https://books.google.co.jp/books?id=yZ68h97pnAkC&pg=PA203&redir_esc=y&hl=ja |page=203 |chapter=5.1 Definitions and basic properties of inner product spaces and Hilbert spaces |isbn=81-224-0801-X |year=1995 |edition=2nd |publisher=New Age International}}</ref><ref name="Prugovec̆ki">{{cite book |title=Quantum mechanics in Hilbert space |author=Eduard Prugovec̆ki |url=https://books.google.co.jp/books?id=GxmQxn2PF3IC&pg=PA18&redir_esc=y&hl=ja |chapter=Definition 2.1 |pages=18 ''ff'' |isbn=0-12-566060-X |year=1981 |publisher=Academic Press |edition =2nd}}</ref>。

* [[複素共軛|共軛]]対称性: <math>\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}.</math>
* 第一引数に対する線型性: <math>\langle ax+y,z\rangle= a\langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle.</math>
* [[定符号二次形式|正定値性]]: <math>\langle x,x\rangle \geq 0,\quad [\langle x,x\rangle = 0 \implies x = 0]</math>

{{math|''F'' {{=}} '''R'''}} のときは共軛対称性（エルミート対称性）は単に[[対称双線型形式|対称性]]に帰着される。

=== 注意 ===
上記内積の定義において、[[スカラー (数学)|係数体]]を実数体 {{math|'''R'''}} および複素数体 {{math|'''C'''}} に制限する必要があることにはいくつか理由がある。簡潔に述べれば、半正定値性が意味を持つために係数体は（内積の値域となる）適当な[[順序体]]を含む必要がある（従って、任意の順序体がそうであるように[[標数]]が {{math|0}} でなければならない）ことである（ここから直ちに有限体は除外される）。また、係数体は区別された自己同型 (distinguished automorphism) のような付加構造を持たなければならない。そういう意味では、より一般に {{math|'''R'''}} または {{math|'''C'''}} の二次閉部分体（任意の元が平方根を持つ体、例えば全[[代数的数]]体）を考えれば十分だが、（{{math|'''R'''}} でも {{math|'''C'''}} でもない）真の部分体を取ってしまうと、有限次元の内積空間でさえ[[完備距離空間]]にならない。これと対照的に、{{math|'''R'''}} または {{math|'''C'''}} 上の有限次元内積空間は自動的に[[完備距離空間|完備]]となり、従って[[ヒルベルト空間]]になる。

== 性質 ==
計量ベクトル空間では様々な定理が成立する。
* [[コーシー＝シュワルツの不等式]]：<math>\langle x,y \rangle^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle</math>

== 例 ==
様々なベクトル空間に様々な内積が定義できる。
{{See also|内積#例}}
最も単純な例として、[[実数]]全体の成すベクトル空間に通常の乗法によって内積 {{math2|&lang;''x'',&thinsp;''y''&rang; :{{=}} ''xy''}} を定めたものは内積空間になる。
* {{math|'''C'''{{sup|''n''}}}} の内積の一般形は、[[行列の定値性|正定値]][[エルミート行列]] {{mathbf|M}} を用いて<div style="margin: 1ex 2em"><math>   \langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle := \mathbf{y}^\dagger\mathbf{M}\mathbf{x} = \overline{\mathbf{x}^\dagger\mathbf{M}\mathbf{y}} </math></div>の形で与えられ（{{math|'''y'''<sup>†</sup>}} は {{math|'''y'''}} の[[随伴行列]]）、[[エルミート形式]]と呼ばれる。実係数の場合は、（正のスケール因子と拡大方向に直交する方向を持つ）二つのベクトルをそれぞれ異なる方向に拡大変換したものを点乗積することに相当する。これは直交変換の[[違いを除いて|違いを除]]けば、正の重みをもつ点乗積の{{仮リンク|荷重函数|label=重み付き和|en|Weight function}}版である。
* [[ヒルベルト空間]]の項には、内積の導く距離が[[完備距離空間|完備]]となるような内積空間のさまざまな例がある。完備でないような内積を持つ内積空間には、例えば閉区間 {{math2|[''a'', ''b'']}} 上の複素数値連続函数全体の成す空間 {{math2|''C''([''a'', ''b''])}} が挙げられる。内積は<div style="margin:1ex 2em"><math>\langle f, g \rangle := \int_a^b f(t) \overline{g(t)} \, dt</math></div>で与える。この空間が完備でないことは、たとえば閉区間 {{math2|[−1, 1]}} 上で <div style="margin:1ex 2em"><math>f_k(t) = \begin{cases}
0  &(t \in [-1,0]) \\
1  &(t \in [\tfrac{1}{k}, 1]) \\
kt &(t \in (0, \tfrac{1}{k})
\end{cases}</math></div> で定義される階段函数列 {{math|{''f{{sub|k}}''}{{sub|''k''}}}} を考えれば、この列は内積の導くノルムに関して[[コーシー列]]を成すが、これは「連続」函数に収斂しないことを見ればよい。
* 実[[確率変数]] {{math2|''X'', ''Y''}} に対して、それらの積の[[期待値]] {{math2|&lang; ''X'', ''Y''&rang; :{{=}} '''E'''(''XY'')}} は内積になる。この場合、{{math2|&lang;''X'', ''X''&rang; {{=}} 0}} なる必要十分条件は[[確率]]に関して {{math2|Pr(''X'' {{=}} 0) {{=}} 1}} が成り立つ（即ち、{{math2|''X'' {{=}} 0}} が{{仮リンク|殆ど確実|en|almost surely}}に成り立つ）ことである。この期待値を内積とする定義は{{仮リンク|確率ベクトル|en|random vector}}に対しても同様に拡張することができる。
* 実平方行列に対し、{{math2|&lang;''A'', ''B''&rang; :{{=}} tr(''AB''{{sup|⊤}})}} に転置<div style="margin:1ex 2em"><math>\overline{\langle A, B \rangle} = \langle B^{\top}, A^{\top} \rangle</math></div>を共軛変換と考えたものは、内積になる。

== 内積空間上のノルム ==
{{math|''p'' &ne; 2}} とするとき、ベクトル空間に
: <math>\|x\|_p = \left ( \sum_{i=1}^{\infty} |\xi_i|^p \right)^{1/p} \quad (x = \{\xi_i \} \in \ell^p)</math>
なるノルムをいれて[[ノルム空間]]を得ることはできるが、[[中線定理]]（平行四辺形公式）を満たさないので内積空間にはならない（ノルムに付随する内積が存在するには中線定理が成り立たなければならない）<ref name=Ahmed>{{cite book |title=''Cited work'' |author=P. K. Jain, Khalil Ahmad | url=https://books.google.co.jp/books?id=yZ68h97pnAkC&pg=PA209&redir_esc=y&hl=ja |page=209 |chapter=Example 5 |isbn=81-224-0801-X |year=1995 }}</ref><ref name=Saxe>{{cite book |title=Beginning functional analysis |author=Karen Saxe |url=https://books.google.co.jp/books?id=QALoZC64ea0C&pg=PA7&redir_esc=y&hl=ja |page=7 |isbn=0-387-95224-1 |year=2002 |publisher=Springer}}</ref>。

しかし内積空間ならば、内積から自然に定義され、中線定理を満足する[[ノルム]]
: <math> \|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle}</math>
を持つ。このノルムは内積の定義における正定値性公理によって[[well-defined|きちんと定義される]]。ノルムはベクトル {{math|''x''}} の長さ（あるいは大きさ）と考えることができる。公理から直接に以下のようなことが分かる:

; [[コーシー＝シュワルツの不等式]]: {{math|''V''}} の任意の元 {{math|''x'', ''y''}} に対して <div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|
</math></div> が成立する（等号は {{math|''x''}} と {{math|''y''}} とが[[線型従属]]であるとき、かつそのときに限り成立）。
: これは数学においてもっとも重要な不等式のうちの一つである。ロシア語の文献ではコーシー＝ブニャコフスキー＝シュワルツの不等式とも呼ぶ。重要性に鑑みて、簡潔な証明を記しておこう:
:: {{math|''y'' {{=}} 0}} のときは自明ゆえ、{{math|&lang;''y'', ''y''&rang;}} は非零とする。このとき<div style="margin: 1ex 2em;"><math> \lambda = \langle y , y \rangle^{-1} \langle x, y\rangle</math></div>と置けば<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  0 \leq \langle x -\lambda y,  x -\lambda y \rangle = \langle x, x\rangle - \langle y , y \rangle^{-1} | \langle x,y\rangle|^2
</math></div>となり、整理すれば証明を得る。
; [[直交性]]: 内積は角度や長さといった言葉で幾何学的に解釈することができるので、内積空間において幾何学的な用語法を用いる動機付けを与えるものとなる。実際、コーシー＝シュワルツの不等式の直接の帰結として、{{math|''F'' {{=}} '''R'''}} の場合には、二つの非零ベクトル {{math|''x'', ''y''}} の間の角を等式<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
  \operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}
</math></div>で定義することが正当化できる。ここでは角度の値を {{math|[0, π]}} から選ぶものとする。これは二次元ユークリッド空間における場合の対応物になっている。{{math|''F'' {{=}} '''C'''}} の場合の角度（閉区間 {{math|[0, π/2]}} は<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
 \operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac{|\langle x, y \rangle|}{\|x\| \cdot \|y\|}
</math></div>と定義するのが典型的である。このような角度の定義に呼応して、{{math|''V''}} の二つの非零ベクトル {{math|''x'', ''y''}} が直交することの必要十分条件をそれらの内積の値が {{math|0}} となることと定める。
; [[斉次函数|斉次性]]: {{math|''V''}} の任意の元 {{math|''x''}} とスカラー {{math|''r''}} に対して {{math|ǁ''rx''ǁ {{=}} {{!}}''r''{{!}}&thinsp;ǁ''x''ǁ}} が成り立つ。
; [[三角不等式]]: {{math|''V''}} の任意の二元 {{math|''x'', ''y''}} に対して {{math|ǁ''x'' + ''y''ǁ &le; ǁ''x''ǁ + ǁ''y''ǁ}} が成り立つ。

斉次性と三角不等式は函数 {{math|ǁǁ}} が実際にノルムを成すことを示すものである。これにより {{math|''V''}} は[[ノルム線型空間]]となり、従ってまた[[距離空間]]を成す。最も重要な内積空間は、この距離に関して[[完備距離空間]]となるもので、それらは[[ヒルベルト空間]]と呼ばれる。任意の内積空間 {{math|''V''}} は、適当なヒルベルト空間の[[稠密部分集合|稠密]]な部分空間であり、このヒルベルト空間は {{math|''V''}} の完備化として、本質的に {{math|''V''}} によって一意に決定される。

; [[ピタゴラスの定理]]: {{math|''V''}} の二元 {{math|''x'', ''y''}} が {{math|⟨''x'', ''y''⟩ {{=}} 0}} を満たすならば {{math|ǁ''x''ǁ<sup>2</sup> + ǁ''y''ǁ<sup>2</sup> {{=}} ǁ''x'' + ''y''ǁ<sup>2</sup>}} が成り立つ。

この等式の証明には、ノルムを定義に従って内積を用いて書いて、各成分に関する加法性に従って展開すれば十分である。「ピタゴラスの定理」という名称はこの結果を幾何学的に解釈したものが[[綜合幾何学]]における同名の定理の類似対応物になっていることによる。無論、綜合幾何学におけるピタゴラスの定理の証明は、基礎に置かれた構造が乏しいために、より複雑なものとなることに注意すべきである。その意味において、綜合幾何学におけるピタゴラスの定理は、いま述べた内積空間におけるものよりも深い結果である。

ピタゴラスの定理に[[数学的帰納法]]を適用することにより、{{math|''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>}} がベクトルの[[直交系]]、即ち相異なる任意の添字 {{math|''j'', ''k''}} に対して {{math|&lang;''x''<sub>''j''</sub>,&thinsp;''x''<sub>''k''</sub>&rang; {{=}}0}} を満たすならば
: <math>\sum_{i=1}^n \|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i \right\|^2</math>
となることが示せる。コーシー＝シュワルツの不等式から、{{math|&lang;,&rang;: ''V'' × ''V'' &rarr; ''F''}} が[[連続写像]]となることも分かるから、ピタゴラスの定理を無限和にまで拡張することができる:
; [[パーセヴァルの等式|パーシヴァルの等式]]: {{math|''V''}} が'''完備'''内積空間ならば、{{math|{''x''<sub>''k''</sub>}}} がどのに元も互いに直交する {{math|''V''}} のベクトル族であるとき、<div style="margin: 1ex 2em;"><math>
 \sum_{i=1}^\infty\|x_i\|^2 = \left\|\sum_{i=1}^\infty x_i\right\|^2
</math></div>が、左辺の無限級数が[[収斂級数|収斂]]する限りにおいて成立する。
空間の完備性は、部分和の列（これが[[コーシー列]]となることは容易）が収斂することを保証するために必要である。

; [[中線定理]]: {{math|''V''}} の任意の二元 {{math|''x'', ''y''}} に対し、{{math|ǁ''x'' + ''y''ǁ<sup>2</sup> + ǁ''x'' &minus; ''y''ǁ<sup>2</sup> {{=}} 2ǁ''x''ǁ<sup>2</sup> + 2ǁ''y''ǁ<sup>2</sup>}} が成り立つ。

実は中線定理はノルム空間において、そのノルムを導く内積が存在するための必要かつ十分な条件であり、これを満足するとき対応する内積は[[偏極恒等式]]
: <math> \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2 \real \langle x , y \rangle</math>
によって与えられる（これは[[余弦定理]]の一つの形である）。

== 正規直交系 ==
{{main|正規直交系}}
{{math|''V''}} を次元 {{math|''n''}} を持つ有限次元内積空間とする。任意の[[基底 (線型代数学)|基底]]はちょうど {{math|''n''}} 本の線型独立なベクトルからなることを思い出そう。[[グラム–シュミットの正規直交化法]]を用いれば、任意の基底を正規直交基底に取り換えてから話を進めて良い。即ち、基底は各ベクトルが単位ノルムを持ち互いに直交するものとする。式で書けば、基底 {{math|{''e''<sub>1</sub>, …, ''e''<sub>''n''</sub>}}} が正規直交であるとは、{{math|''i'' &ne; ''j''}} ならば {{math|&lang;''e''<sub>''i''</sub>, ''e''<sub>''j''</sub>&rang; {{=}} 0}}, かつ各 {{math|''i''}} に対して {{math|&lang;''e''<sub>''i''</sub>, ''e''<sub>''i''</sub>&rang; {{=}} ǁ''e''<sub>''i''</sub>ǁ {{=}} 1}} を満足することを言う。

この正規直交基底の定義は、以下のように無限次元内積空間に対して一般化することができる。{{math|''V''}} は任意の内積空間として、ベクトルの系 {{math|''E'' {{=}} {''e''<sub>&alpha;</sub> &isin; ''V''}<sub>&alpha;&isin;''A''</sub>}} が {{math|''V''}} の[[ヒルベルト空間|（位相的）基底]]であるとは、{{math|''E''}} の元からなる有限線型結合全体の成す {{math|''V''}} の部分集合が {{math|''V''}} において（内積の導くノルムに関して）[[稠密部分集合|稠密]]となるときに言う。基底 {{math|''E''}} が {{math|''V''}} の正規直交基底であるとは、それが各添字 {{math|&alpha;, &beta; &isin; ''A''}} に対して {{math|&alpha; &ne; &beta;}} ならば {{math|&lang;''e''<sub>&alpha;</sub>, ''e''<sub>&beta;</sub>&rang; {{=}} 0}} かつ {{math|&lang;''e''<sub>&alpha;</sub>, ''e''<sub>&alpha;</sub>&rang; {{=}} ǁ''e''<sub>&alpha;</sub>ǁ {{=}} 1}} を満足することをいう。

グラム-シュミットの方法の無限次元版を用いれば
; 定理: 任意の[[可分空間|可分]]な内積空間 {{math|''V''}} は正規直交基底を持つ。
が示される。また、{{仮リンク|ハウスドルフの極大原理|en|Hausdorff maximal principle}}および[[ヒルベルト空間|完備内積空間]]において線型部分空間への直交射影が[[well-defined|定義可能]]であるという事実を用いれば、
; 定理: 任意の[[ヒルベルト空間|完備内積空間]] {{math|''V''}} は正規直交基底を持つ。
も示せる。これら二つの定理は「任意の内積空間が正規直交基底を持ち得るか」という問いに答えるもので、これには否定的な結論が下される。これは非自明な結果であり、以下のような証明が知られている:

:{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="90%" style="text-align:left"
! 証明<ref>{{Cite book | last= Halmos | first= P.R | title=A Hilbert Space Problem Book | series=Graduate Texts in Mathematics | publisher= Springer | edistion= 2nd rev. and enlarged ed. | year=1982 | isbn=978-0387906850}}</ref>
|-
| 内積空間の次元とは、与えられた正規直交系を含む極大正規直交系の濃度であったことを思い出そう（ツォルンの補題により、そのような極大系は少なくとも一つ存在し、またそのような極大系はどの二つも同じ濃度を持つのであった）。一つの正規直交基底は極大正規直交系であるが、逆は必ずしも成り立たないことは既知である。{{math|''G''}} が内積空間 {{math|''H''}} の稠密部分空間ならば、{{math|''G''}} の任意の正規直交基底は自動的に {{math|''H''}} の正規直交基底となるから、{{math|''H''}} よりも真に次元の小さな稠密部分空間 {{math|''G''}} を持つ内積空間 {{math|''H''}} を構成すれば十分である。

{{math|''K''}} は次元 {{math|&alefsym;<sub>0</sub>}} のヒルベルト空間（例えば {{math|''K'' {{=}} ℓ<sup>2</sup>('''N''')}}）とする。{{math|''E''}} が {{math|''K''}} の基底とすれば {{math|{{!}}''E''{{!}} {{=}} &alefsym;<sub>0</sub>}} である。基底 {{math|''E''}} を {{math|''K''}} の[[基底 (線型代数学)|ハメル基底（代数基底）]] {{math|''E'' &cup; ''F''}} ({{math|''E'' &cap; ''F'' {{=}} &empty;}}) に延長するならば、{{math|''K''}} のハメル次元が[[連続体濃度]] {{math|''c''}} であることは既知であるから、{{math|{{!}}''F''{{!}} {{=}} ''c''}} でなければならない。

{{math|''L''}} を次元 {{math|''c''}} のヒルベルト空間（例えば {{math|''L'' {{=}} ℓ<sup>2</sup>('''R''')}}）とし、{{math|''L''}} の正規直交基底 {{math|''B''}} と全単射 {{math|&phi;: ''F'' &rarr; ''B''}} を考えれば、線型写像 {{math|''T'': ''K'' &rarr; ''L''}} で、{{math|''Tf'' {{=}} &phi;(''f'')}} ({{math|''f'' &isin; ''F''}}) かつ {{math|''Te'' {{=}} 0}} ({{math|''e'' &isin; ''E''}}) を満たすものが存在する。

{{math|''H'' {{=}} ''K'' &oplus; ''L''}} と置き、{{math|''G'' {{=}} {(''k'',&thinsp;''Tk'') : ''k'' &isin; ''K''}}} を {{math|''T''}} のグラフ、{{math|{{overline|''G''}}}} を {{math|''G''}} の {{math|''H''}} における閉包とすれば、{{math|{{overline|''G''}} {{=}} ''H''}} が示せる。各 {{math|''e'' &isin; ''E''}} に対して {{math|(''e'',&thinsp;0) &isin; ''G''}} ゆえ、{{math|''K'' &oplus; 0 &sub; {{overline|''G''}}}} が従う。

次に、{{math|''b'' &isin; ''B''}} とすれば適当な {{math|''f'' &isin; ''F'' &sub; ''K''}} によって {{math|''b'' {{=}} ''Tf''}} と書けるから、{{math|(''f'',&thinsp;''b'') &isin; ''G'' &sub; {{overline|''G''}}}} である。同様に {{math|(''f'',&thinsp;0) &isin; {{overline|''G''}}}} ゆえ、{{math|(0,''b'') &isin; {{overline|''G''}}}} もわかる。従って {{math|0 &oplus; ''L'' &sub; {{overline|''G''}}}} であり、{{math|{{overline|''G''}} {{=}} ''H''}} すなわち {{math|''G''}} は {{math|''H''}} において稠密である。

最後に {{math|{(''e'',0) : ''e'' &isin; ''E''}}} が {{math|''G''}} における極大正規直交系であることを見よう。
: <math>0 = \langle (e,0), (k, Tk) \rangle = \langle e,k \rangle + \langle 0,Tk \rangle = \langle e,k \rangle</math>
が任意の {{math|''e'' &isin; ''E''}} に対して成り立つならば、{{math|''k'' {{=}} 0}} が確定するから、{{math|(''k'',&thinsp;''Tk'') {{=}} (0,0)}} は {{math|''G''}} の零ベクトルであり、{{math|''G''}} の次元は {{math|{{!}}''E''{{!}} {{=}} &alefsym;<sub>0</sub>}} となるが、一方 {{math|''H''}} の次元が {{math|''c''}} であることは明らかである。これで証明は完成した。
|}

[[パーセヴァルの等式|パーシヴァルの等式]]から直ちに次が従う。

; 定理 : 可分内積空間 {{math|''V''}} とその正規直交基底 {''e''<sub>''k''</sub>}<sub>''k''</sub> に対し、写像<div style="margin: 1ex 2em;"><math> x \mapsto \{\langle e_k, x\rangle\}_{k \in \mathbb{N}} </math></div>は稠密な像を持つ等距線型写像 {{math|''V'' → ''ℓ''<sup>&nbsp;2</sup>}} である。

この定理は[[フーリエ級数]]の抽象版であり、任意の正規直交基底がフーリエ級数における[[三角多項式]]の成す直交系の役割を果たす。上記の添字集合は任意の可算集合としてよい（また実は、[[ヒルベルト空間]]の項にあるように、そうして得られる空間は全て、適当な集合上で定義された {{math|''ℓ''<sup>&nbsp;2</sup>}} となる）ことに注意。特に、フーリエ級数に関して

; 定理: {{math|''V''}} が内積空間 {{math|C[&minus;&pi;,&pi;]}} ならば、整数全体の成す集合で添字付けられた連続函数の双無限列 <div style="margin: 1ex 2em;"><math>e_k(t) = \frac{e^{i k t}}{\sqrt{2 \pi}}</math></div>は {{math|''L''<sup>2</sup>}}-内積に関して空間 {{math|C[&minus;&pi;,&pi;]}} の正規直交基底であり、写像 <div style="margin: 1ex 2em;"><math>
 f \mapsto \left\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\pi}^\pi f(t) e^{-i k t} \, dt \right\}_{k \in \mathbb{Z}}
</math></div>は稠密な像を持つ等距線型写像になる。

点列 {''e<sub>k</sub>''}<sub>''k''</sub> の直交性は {{math|''k''&nbsp;≠&nbsp;''j''}} のとき
: <math>  \int_{-\pi}^\pi e^{-i (j-k) t} \, dt = 0</math>
から直ちにわかる。正規性は列の作り方による（即ち、列の各係数はノルムが {{math|1}} となるように選ばれたものである）。
最後に、この列が内積の定めるノルムに関して稠密な（代数的）[[線型包]]を持つことは、このとき {{math|[&minus;&pi;,&pi;]}} 上の連続な周期函数が一様ノルムに関して成すノルム空間においてこの列が稠密な線型包を持つことから従う。これは、三角多項式の一様稠密性に関するヴァイエルシュトラスの定理の内容である。

== 内積空間上の作用素 ==
内積空間 {{math|''V''}} から内積空間 {{math|''W''}} への線型写像 {{math|''A'': ''V'' &rarr; ''W''}} に対して、望ましい性質を持つクラスがいくつか挙げられる。
* '''[[連続線型写像]]''': {{math|''A''}} は上で述べた距離に関して連続。同じことだが、{{math|''x''}} が {{math|''V''}} の単位閉区間上を動くときの非負実数からなる集合 {{math|{ǁ''Ax''ǁ}}} が有界。
* 対称線型作用素: {{math|''V''}} の任意の元 {{math|''x'', ''y''}} に対して {{math|&lang;''Ax'', ''y''&rang; {{=}} &lang;''x'', ''Ay''&rang;}} を満たす。
* '''[[等長写像|等長作用素]]''': {{math|''V''}} の任意の元 {{math|''x'', ''y''}} に対して {{math|&lang;''Ax'', ''Ay''&rang; {{=}} &lang;''x'', ''y''&rang;}} を満たす。同じことだが、{{math|''V''}} の任意の元 {{math|''x''}} に対して {{math|ǁ''Ax''ǁ {{=}} ǁ''x''ǁ}} が成り立つ。任意の等長作用素は[[単射]]であり、また等長作用素は内積空間の間の[[準同型]]、特に実内積空間の間の準同型は[[直交変換|直交作用素]]である（[[直交行列]]と比較せよ）。
* '''等長同型''': {{math|''A''}} は等長作用素かつ[[全射]]（従って[[全単射]]）。等長同型はユニタリ作用素とも呼ばれる（[[ユニタリ行列]]と比較せよ）。

内積空間論の観点からは、互いに等長同型な二つの空間は区別を要しない。[[スペクトル定理]]は有限次元内積空間上の対称作用素、ユニタリ作用素、あるいは一般に[[正規作用素]]に対する標準形を与えるものである。スペクトル定理の一般化はヒルベルト空間上の連続正規作用素に対しても成り立つ。

== 関連項目 ==
* [[双対空間]]
* [[双対対]]
* [[フビニ・スタディ計量|フビニ-スタディ計量]]
* {{仮リンク|エネルギー的空間|en|Energetic space}}
* [[直交群]]
* [[空間 (数学)]]
* [[ノルム線型空間]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}<references />

== 参考文献 ==
* {{Cite book | last1=Axler | first1=Sheldon | title=Linear Algebra Done Right | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-0-387-98258-8 | year=1997}}
* {{Cite book | last1=Emch | first1=Gerard G. | title=Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory | publisher=[[Wiley-Interscience]] | isbn=978-0-471-23900-0 | year=1972}}
* {{Cite book | last1=Young | first1=Nicholas | title=An introduction to Hilbert space | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-33717-5 | year=1988}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=InnerProductSpace|title=Inner Product Space}}
* {{nlab|urlname=inner+product+space|title=inner product space}}{{en icon}}
* {{PlanetMath|urlname=InnerProductSpace|title=inner product space}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Inner_Product_Space|title=Definition:Inner Product Space}}{{en icon}}

{{Linear algebra}}
{{DEFAULTSORT:けいりようへくとるくうかん}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:ノルム空間]]
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