調和共役 (幾何学)のソースを表示

{{混同|[[調和関数|共役調和関数]]}}
{{翻訳中途|1=[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Projective_harmonic_conjugate&oldid=1214054398&#124; 英語版''17:50, 16 March 2024'']|date=2024年7月}}[[ファイル:Pappusharmonic.svg|右|サムネイル|300x300ピクセル|{{Mvar|D}}は{{Mvar|A}},{{Mvar|B}}に対する{{Mvar|C}}の調和共役<br />{{Mvar|A, D, B, C}} は調和点列<br />{{Mvar|KLMN}}は[[完全四辺形]]]]
[[射影幾何学]]において、'''調和共役'''（ちょうわきょうやく、{{Lang-en|harmonic conjugate}}）は、[[実射影直線]]における以下の点の関係のことである<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部 |year=1913 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂書店]] |pages= |id={{NDLJP|930885}} |author=[[Eugène Rouché]],[[Charles de Comberousse]] |editor=[[小倉金之助]] |page=141}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=平面幾何学 : 初等教育 下巻 |year=1893 |publisher=[[両輪堂]] |page=252 |author=[[英国幾何学教授法改良協会]] |translator=[[原浜吉]]|id= {{NDLJP|828836}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=平面幾何学研究法 訂再版,Questions de géométrie elémentaire |year=1914 |publisher=[[富山房]] |pages=38-71 |author=デボーヴ |translator=[[吉田好九郎]] |id={{NDLJP|952193}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=平面幾何教科書 |year=1907 |publisher=[[光風館]] |page=238 |author=[[保田棟太]], [[白井伝三郎]] |id={{NDLJP|828886}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=手によりて分類せる幾何学問題集 |year=1924 |publisher=敬文館書店 |pages=20,263-264 |author=真辺仙一 |id={{NDLJP|921465}}}}</ref>。

: 同一直線上にある三点 {{Mvar|A, B, C}}について{{Mvar|L}}をその直線上にない点、{{Mvar|M, N}}をそれぞれある{{Mvar|C}}を通る直線と{{Mvar|LA, LB}}の交点とする。また{{Mvar|AN}}と{{Mvar|BM}}の交点を{{Mvar|K}}とする。{{Mvar|LK}}と{{Mvar|AB}}の交点{{Mvar|D}}を{{Mvar|C}}の{{Mvar|A}},{{Mvar|B}}に対する'''調和共役点'''という<ref>R. L. Goodstein & E. J. F. Primrose (1953) ''Axiomatic Projective Geometry'', University College Leicester (publisher). This text follows [[synthetic geometry]]. Harmonic construction on page 11　</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=平面幾何学小辞典 |year=1913 |publisher=[[東京宝文館]] |pages=5,11-12 |author=[[長沢亀之助]]|id= {{NDLJP|985999}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=数学新辞典 (辞典叢書) |year=1907 |publisher=[[田中宋栄堂]] |page=180 |author=三余学寮 |id={{NDLJP|826427}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学教科書 立体之部（訂３版） |year=1898 |publisher=[[大日本図書]] |page=126 |author=[[菊池大麓]] |id={{NDLJP|828701}}}}</ref>。

{{Mvar|D}}は[[複比]]の不変性や[[デザルグの定理]]により、点{{Mvar|L}}や直線{{Mvar|M}}{{Mvar|N}}の取り方に依らない。

またこのときの複比については {{Math|1=(''A'', ''B''; ''C'', ''D'') = −1}}が成り立つ。

[[平面幾何学]]では{P,Q}調和共役（{P,Q}-harmonic conjugate）と書かれることもある<ref>{{Cite web |title=GLOSSARY, a support page for ENCYCLOPEDIA TRIANGLE CENTERS |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/glossary.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-23}}</ref>。

== 複比の基準 ==
{{Mvar|A, D, B, C}}は'''調和点列'''（Harmonic range）または'''調和列点'''と呼ばれている<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 |year=1953 |publisher=[[朝倉書店]] |pages=70-73 |author=[[森本清吾]] |id={{NDLJP|1372292}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学続編 |year=1909 |publisher=[[有朋堂]] |page=111 |id={{NDLJP|828521}} |author=[[ジョン・ケイシー (数学者)|ジョン・ケージー]] |translator=山下安太郎,高橋三蔵}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=平面幾何學教科書 改訂再版 |year=1919 |publisher=明治書院 |pages=310-312 |author=[[秋山武太郎]] |id={{NDLJP|1184187}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=最新平面幾何学講義 |year=1925 |publisher=[[内田老鶴圃]] |pages=203-213 |author=[[山崎栄作]] |id={{NDLJP|942889}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学徹底的研究 |year=1937 |publisher=[[文明社]] |pages=152-153 |author=越智治成 |id={{NDLJP|1457461}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=登竜幾何学問題選集 |year=1936 |publisher=[[広文館]] |pages=103-105 |author=[[松室隆光]] |id={{NDLJP|1112996}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 |year=1931 |publisher=[[積善館]] |pages=142-147 |author=[[澤山勇三郞]],[[森本清吾]] |id={{NDLJP|1174278}}}}</ref>。{{Overline|{{mvar|AB}}}}に対する{{Mvar|D}}の内分比と{{Mvar|C}}の外分比は常に等しい。つまり以下が成り立つ。<math display="block">\overline{AC}:\overline{BC} = \overline{AD}:\overline{DB} \, .</math>線分比について符号付き距離を導入すると[[複比]]は以下の式で表される。

: <math>(A,B;C,D) = \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}} \left/ \frac{\overline{BC}}{-\overline{DB}} \right. , </math>

調和点列の複比は常に-1である。

: <math>(A,B;C,D) = \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}} \times \frac{\overline{BD}}{\overline{BC}} = -1 .</math>

複比を取る4点の選びは6通りあり、選び方によって複比の値は変わってしまう。しかし、調和点列の場合、{{Math|{&minus;1, 1/2, 2<nowiki>}</nowiki>}}のいずれかとなる。これらは'''調和比'''（harmonic cross-ratio）と呼ばれる<ref>{{Cite book|和書 |title=平面解析幾何学 |year=1913 |publisher=[[富山房]] |page=128 |author=[[中川銓吉]] |d={{NDLJP|980959}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=ショヴネー氏幾何教科書 下巻 |year=1891 |publisher=[[開新堂]] |pages=142-143,152 |author=[[ウィリアム・ショヴネー|ショヴネー]] |translator=[[乙部兵義]] |id={{NDLJP|828565}}}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=解析幾何学教科書 |year=1906 |publisher=[[三省堂]] |page=57 |author=[[チャーレス・スミス]] |translator=[[宮本藤吉]] |doi=10.11501/828396}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=解析幾何学 : 円錐曲線 |year=1914 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂出版部]] |page=112 |id={{NDLJP|952208}} |author=サーモン|author-link=ジョージ・サーモン |translator=[[小倉金之助]]}}</ref>。

実数直線状の点{{Mvar|a, b}}について点{{Mvar|x}}の'''分割比'''（division ratio）は以下の式で表される<ref>[[Dirk Struik]] (1953) ''Lectures on Analytic and Projective Geometry'', page 7
</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学的変換論初歩 |year=1925 |publisher=[[金港堂書籍]] |page=2 |author=窪田忠彦 |author-link=窪田忠彦 |id={{NDLJP|980958}}}}</ref>。<math display="block">t(x) = \frac {x - a} {x - b} .</math>{{Math|''a'' < ''x'' < ''b''}}ならば、{{Math|''t''(''x'')}}は負の値を取る。逆に{{Mvar|a, b}}の外であれば正の値を取る。複比は分割比を用いて<math>(c,d;a,b) = \tfrac{t(c)}{t(d)}</math> と書くことができる。{{Math|1=''t''(''c'') + ''t''(''d'') = 0}}ならば、{{Mvar|c}}と{{Mvar|d}}は{{Mvar|a}},{{Mvar|b}}に対する調和共役である。

調和共役の関係にある2つの点との距離が、調和点列の分比である点の軌跡は[[アポロニウスの円]]と呼ばれる。

== 中点の調和共役 ==
[[ファイル:Real_projective_line.svg|右|サムネイル|181x181ピクセル|中点と無限遠点]]
{{Mvar|a}}と{{Mvar|b}}の[[中点]]{{Mvar|x}}に対しての分割比は-1である。<math display="block">t(x) = \frac{x-a}{x-b} = -1.</math>複比の基準によれば、中点{{Mvar|x}}の調和共役点{{Mvar|y}}は{{Math|1=''t''(''y'') = 1}}を満たさなければならない。しかし[[無限]]の概念を使わねば、{{Mvar|y}}を定義することができない。<math display="block">\lim_{y \to \infty} t(y) = 1,</math>中点{{Mvar|x}}の調和共役点は実数直線上の[[無限遠点]]として定義される。

== 完全四角形 ==
調和共役と{{仮リンク|完全四辺形|en|Complete quadrangle}}{{Mvar|KLMN}}は深い関係にある。完全四角形の調和共役による表現は[[ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター|H. S. M.コクセター]]によって提唱された。

: どの3点も[[共線]]でない4点{{Mvar|A,B,C,D}}を結んでできる6つの直線のからできる図形を'''完全四角形'''または'''完全四辺形'''という<ref>H. S. M. Coxeter (1942) ''Non-Euclidean Geometry'', page 29, [[University of Toronto Press]]　</ref>。

最初に調和共役を用いた[[カール・フォン・シュタウト]]は著作「{{lang|de|Geometrie der Lage}}」の中で、調和共役を[[初等幾何学]]の概念から[[射影幾何学]]の概念へ発展させた<ref>B.L. Laptev & B.A. Rozenfel'd (1996) ''Mathematics of the 19th Century: Geometry'', page 41, [[Birkhäuser Verlag]] {{isbn|3-7643-5048-2}}　</ref>。

[[ファイル:Fano_parallelogramm.svg|代替文=parallelogram with diagonals|右|サムネイル|{{Math|1=''P''{{sub|1}} = ''A''}}, {{Math|1=''P''{{sub|2}} = ''S''}}, {{Math|1=''P''{{sub|3}} = ''B''}}, {{Math|1=''P''{{sub|4}} = ''Q''}}, {{Math|1=''D'' = ''M''}}]]
[[ジョン・ウェスレー・ヤング]]によれば、完全四角形によって中点を定義することができる。

: 2直線 {{Mvar|AQ, AS}} についてそれぞれ平行な直線,{{Mvar|BS, BQ}} を描く。 {{Mvar|AQ, SB}} の交点は無限遠点{{Mvar|R}}、{{Mvar|AS, QB}}の交点無限遠点{{Mvar|P}}である。[[完全四角形]]{{Mvar|PQRS}} の対角線は直線{{Mvar|A}}{{Mvar|B}}と、{{Mvar|A}}{{Mvar|B}}上の無限遠点{{Mvar|M}}である。[[平行四辺形]]の対角線の交点は対角線を二等分することより、 {{Mvar|M}}の調和共役点は{{Mvar|{{overline|AB}}}}の中点である<ref>[[John Wesley Young]] (1930) ''Projective Geometry'',  page 85, [[Mathematical Association of America]], Chicago: [[Open Court Publishing]]　</ref>。

== 円錐曲線 ==
{{Main|極と極線}}

円錐曲線{{Mvar|C}}と{{Mvar|C}}上にない{{Mvar|P}}について、{{Mvar|P}}を通る直線と{{Mvar|C}}の交点をそれぞれ{{Mvar|A}},{{Mvar|B}}とする。直線が動くとき、 {{Mvar|P}}の{{Mvar|A}},{{Mvar|B}}に対する調和共役点は、ある直線上を動く。この時{{Mvar|P}}を'''極'''（pole）、調和共役点の動く直線を{{Mvar|P}}の'''極線'''（polar line）と言う。

=== 反転幾何学 ===
{{詳細記事|反転幾何学}}
特に円の場合、調和共役は円による[[反転幾何学|反転]]と等しい。これはSmogorzhevskyの定理の一つである<ref>A.S. Smogorzhevsky (1982) ''Lobachevskian Geometry'', [[Mir Publishers]], Moscow </ref>。

: 円{{Mvar|k}}, {{Mvar|q}} が垂直に交わっているとき{{Mvar|k}},{{Mvar|q}}の中心を結ぶ直線と{{Mvar|q}}の2つの交点は{{Mvar|k}}について、反転の関係にある。また、{{Mvar|k}}の中心,{{Mvar|k}}と直線の{{Mvar|q}}側の交点に対して{{Mvar|k}},{{Mvar|q}}の中心を結ぶ直線と{{Mvar|q}}の2つ交点は調和共役の関係にある。

=== 円錐曲線とJoachimthalの等式 ===
<math>C</math>を以下の式で表される楕円とする。

: <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1.</math>

楕円の外にある点 <math>P(x_0,y_0)</math> について、<math>P</math>を通る直線<math>L</math>が[[楕円]]と<math>A</math>,<math>B</math>で交わっている。  <math>A</math> の座標を <math>(\xi,\eta)</math>とする。<math>L</math>上の点<math>Q(x,y)</math>を、<math>A</math>が<math>PQ</math>を<math>1</math>:<math>\lambda</math>に内分する、楕円の内部に位置する点とすると、以下が成り立つ。

: <math> PA=\sqrt{(x_0-\xi)^2+(y_0-\eta)^2}=1, \;\;\; AQ=\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2}= \lambda</math>.

これらの方程式を𝜉と𝜂について解く代わりに、以下の式が解であることを代入によって調べることができる。

: <math>(\xi,\eta)=\bigg(\frac{\lambda x+x_0}{\lambda +1}, \frac{\lambda y+y_0}{\lambda +1}\bigg).</math>

<math>A</math>が<math>C</math>上にあることは以下の式から確かめられる。

: <math>\frac{1}{a^2}\bigg(\frac{\lambda x+x_0}{\lambda +1}\bigg)^2 + \frac{1}{b^2}\bigg(\frac{\lambda y+y_0}{\lambda +1}\bigg)^2 = 1,</math>
: <math>\lambda^2\bigg(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\bigg) + 2\lambda\bigg(\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-1\bigg) + \bigg(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}-1\bigg)=0.</math>

この等式は<math>\lambda</math>の[[Joachimthal's equation]]と呼ばれる。Joachimthal's equationの2つの根<math>\lambda_1,\lambda_2</math>は<math>P</math>,<math>Q</math>に対する<math>A</math>,<math>B</math>の位置を決定する。

: <math>QA=\frac{1}{\lambda_1+1}(x-x_0, y-y_0), \;\; PA=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+1}(x_0-x, y_0-y)</math><math>QB=\frac{1}{\lambda_2+1}(x-x_0, y-y_0), \;\;  PB=\frac{\lambda_2}{\lambda_2+1}(x_0-x, y_0-y).</math>
:
: <math>\frac{PB}{PA}\frac{QA}{QB}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}.</math>

上の等式の両辺が<math>-1</math>と等しいならば

: <math>\frac{QA}{PA}=-\frac{QB}{PB}.</math>

このとき <math>PQ</math>に対する<math>A</math> の内分比と<math>B</math>の外分比は等しい。すなわちこれは調和比である。

:<math>\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}-1=0.</math>

この等式は <math>P(x_0,y_0)</math>を極とする極線を表す。

== 出典 ==
{{Reflist}}
== 参考文献 ==
* Juan Carlos Alverez (2000) [https://web.archive.org/web/20080629022803/http://www.math.poly.edu/~alvarez/teaching/projective-geometry/ Projective Geometry], see Chapter 2: The Real Projective Plane, section 3: Harmonic quadruples and von Staudt's theorem.
* Robert Lachlan (1893) [http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=Lach015 An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry], link from [[コーネル大学|Cornell University]] Historical Math Monographs.
* [[バートランド・ラッセル|Bertrand Russell]] (1903) Principles of Mathematics, page 384.
* {{Cite book |title=Pure Geometry |first=John Wellesley |last=Russell |publisher=Clarendon Press |year=1905 |url=https://books.google.com/books?id=r3ILAAAAYAAJ}}
== 外部リンク ==
* {{Kotobank |word=調和列点 |encyclopedia=日本大百科全書(ニッポニカ) |title=}}
* {{高校数学の美しい物語|867|調和点列の様々な定義と具体例}}
* {{Cite web |url=https://mixedmoss.com/ProjectiveGeometry/harmonicConjugate/harmonic%20conjugate.pdf |title=調和共役 |access-date=2024-7-23 |publisher=mixedmoss}}
{{Geometry-stub}}{{デフォルトソート:ちようわきようやく}}
[[Category:射影幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]