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{{要改訳}}
'''調和微分形式'''（ちょうわびぶんけいしき）とは、数学において曲面上の実 [[微分形式|1-形式]] {{mvar|ω}} として、{{mvar|ω}} とその共役 1-形式 {{math|''ω''*}} 両方が[[閉形式]]のことをいう。

== 解説 ==

2-次元[[実解析]]多様体の上で定義された実 1-形式の場合を考える。さらに[[複素微分形式]]の実部となる実 1-形式を考える。{{nowrap begin}}ω = A&thinsp;dx + B&thinsp;dy{{nowrap end}} とし、形式的に '''共役''' 1-形式を {{nowrap begin}}ω* = A&thinsp;dy &minus; B&thinsp;dx{{nowrap end}} と定義する。

== 動機 ==

調和微分形式は明らかに[[複素解析]]に関係している．[[複素数]] z を[[複素数|実部]]と[[複素数|虚部]]に分けて、それぞれを x と y とし、{{nowrap begin}}z = x + iy{{nowrap end}} とする．[[複素解析]]の観点から、{{nowrap begin}}ω + iω* = (A &minus; iB)(dx + i&thinsp;dy){{nowrap end}} となり、従って dz がゼロに近付くとき[[除法|商]] {{nowrap|(ω + iω*)/dz}} は[[極限]]を取る。言い換えると、ω* は、微分（[[解析函数|解析性]]）の概念に関連している。もうひとつの概念である[[虚数単位]]は、{{nowrap begin}}(ω*)* = &minus;ω{{nowrap end}} である（まさに {{nowrap begin}}i<sup>2</sup> = &minus;1{{nowrap end}} と同じである）。

与えられた[[函数]] ''f'' に対し、{{math|1=''ω'' = ''df''}} とする。つまり
:<math>\omega=\biggl(\frac{\partial f}{\partial x}\biggr)dx+\biggl(\frac{\partial f}{\partial y}\biggr)dy</math>
ここに &part; は[[偏微分]]を表す。すると、
:<math>(df)^* = \biggl(\frac{\partial f}{\partial x}\biggr)dy-\biggl(\frac{\partial f}{\partial y}\biggr)dx</math>
となる。ここで注意することは<math>d(df)^*</math> はいつもゼロとは限らないことで、実際、
:<math>d(df)^* = \Delta f\ dx\ dy</math>
であり、ここに
:<math>\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>
が示される。

== コーシー・リーマンの方程式 ==

上で見たように、ω と ω* がともに閉形式のときに、1-形式 ω を '''調和的''' という。このことは {{nowrap begin}}&part;A/&part;y = &part;B/&part;x{{nowrap end}} (ω が閉形式のとき) でかつ {{math|1=&part;''B''/&part;''y'' = &minus;&part;''A''/&part;''x''}} (ω* が閉形式のとき) であることを意味する。これらは、{{nowrap|A &minus; iB}} の[[正則函数#コーシー・リーマンの方程式|コーシー・リーマンの方程式]]という。普通、これらは、{{nowrap|u(x, y) + iv(x, y)}} の項で表すと、
:<math> \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \ \ \ \ \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}</math>
となる。

== 結果 ==

* 調和微分 (1-形式) は正確に（解析的）複素微分形式の実部に一致する<ref name="CMRS">{{Citation|first=Harvey|last=Cohn|title=Conformal Mapping on Riemann Surfaces|publisher=McGraw-Hill Book Company|year=1967}}</ref>。これを証明するためには、{{math|''u'' + ''iv''}} が、{{math|''x'' + ''iy''}} で[[近傍|局所的に]][[解析函数]]であるときに、コーシー・リーマンの方程式を満たすことを示せばよい。もちろん、解析函数 {{math|1=''w''(''z'') = ''u'' + ''iv''}} は、何らか（すなわち {{math|&int; ''w''(''z'') ''dz''}}）の局所での微分である。
* 調和微分形式 {{mvar|ω}} は（局所的に）正確に[[ラプラス方程式]] {{math|1=Δ''f'' = 0}} の解 ''f'' の微分 ''df'' である<ref name="CMRS"/>。
* {{mvar|ω}} が調和微分形式であれば、{{math|''ω''*}} もまた調和微分形式である<ref name="CMRS"/>。

==関連項目==
* [[ド・ラームコホモロジー]]
* [[微分形式]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}
*[[森田茂之]]『微分形式の幾何学１』[[岩波書店]]、[[1996年]] ISBN 4-00-010633-3 
*[[森田茂之]]『微分形式の幾何学２』[[岩波書店]]、[[1997年]] ISBN 4-00-010639-2

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[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]